Use a Regra do Ponto Médio com o valor dado n para aproximar a integral. Arredonde cada reposta para quatro casas decimais.

∫ 2 4 x ln ⁡ x d x ,   n = 4

Passo 1

Faala meus queridos!

Nessa questão temos a seguinte função:

f x = x l n   x

E queremos encontrar a sua integral indo de x = 2 até x = 4 usando a Regra do Ponto Médio com 4   subintervalos.

A regra do ponto médio se trata de uma soma de Riemann calculada com valores de x do ponto médio dos subintervalos.

A soma de Riemann para uma função f ( x ) com n subintervalos pode ser definida pelo seguinte somatório:

S = ∑ i = 1 n f x i Δ x

Ela representa a soma das áreas de retângulos que são obtidos a partir da função.

A ideia é basicamente dividir o intervalo em n   subintervalos Δ x igualmente espaçados.

Δ x = x f - x 0 n

Esses Δ x serão as bases dos retângulos.

Para a altura do retângulo, pega-se o valor da função em um ponto x dentro do subintervalo Δ x .

f x i

E aí há três opções.

Escolher um valor da função calculado no x do extremo esquerdo do subintervalo ( x i - 1 ) , do meio do subintervalo ( x i - ) ou do extremo direito do subintervalo ( x i ).

Passo 2

Encontrando o delta:

Δ x = x f - x 0 n

∆ x = 4 - 2 4 = 1 2 = 0,5

Os pontos extremos dos subintervalos são:

x 0 = 2 , ; x 1 = 2,5   ; x 2 = 3 ; x 3 = 3,5 ; x 4 = 4

E os pontos médios dos subintervalos de comprimento 0,5 que variam de 2 até 4 são portanto:

x 1 - = 2,25 ; x 2 - = 2,75 ; x 3 - = 3,25 ; x 4 - = 3,75

Passo 3

Pela Regra do Ponto Médio temos:

∫ 2 4 x ln ⁡ x d x ≈ ∑ i = 1 4 f x - i ∆ x

E esse somatório resulta em:

∑ i = 1 4 f x - i ∆ x = f 2,25 Δ x + f 2,75 Δ x + f 3,25 Δ x + f 3,75 Δ x

Colocando o Δ x em evidência e substituindo a função f x = x l n   x , teremos:

∑ i = 1 4 f x - i ∆ x = 0.5 2,25 ln ⁡ 2,25 + 2,75 ln ⁡ 2,75 + 3,25 ln ⁡ 3,25 + 3,75 ln ⁡ 3,75

∑ i = 1 4 f x - i ∆ x ≈ 6,6969

Resposta

6,6969

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