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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 71

Calcule a área da região que se encontra entre as curvas y = s e c x e y = t g x   de x = 0 a x = π 2  

Passo 1

Lembre-se que para calcular a área entre curvas, precisamos saber qual curva que está por cima. Vamos usar um gráfico para tentar visualizar, beleza?

Então nossa área vai ser dada por:

A =   ∫ 0 π 2     s e c x - t g x   d x  

Passo 2

Se olharmos para o gráfico direitinho ou só pensarmos um pouquinho a mais, da pra notar que quando x = π 2 , as funções do integrando não estão bem definidas, então, vamos dá uma mudada na integral. Ou seja,

∫ 0 π 2     s e c x - t g x   d x =   lim b → π 2 ⁡   ∫ 0 b     s e c x - t g x   d x  

Passo 3

Agora é só resolver nosso babado, usando as primitivas,

lim b → π 2 ⁡   ∫ 0 b     s e c x - t g x   d x =   lim b → π 2 ⁡   ln ⁡ s e c x + t g x - ln ⁡ s e c x 0 b

Passo 4

Fazendo a aplicação dos limites de integração,

lim b → π 2 ⁡   ln ⁡ s e c x + t g x - ln ⁡ s e c x 0 b =   lim b → π 2 ⁡   ln ⁡ | s e c 0 + t g 0 | - ln ⁡ s e c b + t g b - ln ⁡ s e c 0 - ln ⁡ s e c x

=   lim b → π 2 ⁡   ( l n ⁡ | 1 + t g b s e c b   - ln ⁡ 1 - 0 =     lim b → π 2 ⁡   l n 1 + s e n b = ln ⁡ | l i m b → π 2 1 + s e n b | = l n 2  

Resposta

A = l n 2

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