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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.8 - Ex. 17

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 1 ∞ x + 1 x 2 + 2 x   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos a convergência da integral imprópria e, se possível, calculá-la. Como um dos limites de integração é infinito, trata-se de uma integral do tipo 1. Assim, precisamos primeiro calcular a integral

∫ 1 t x + 1 x 2 + 2 x   d x

Feito isso, tomamos o limite fazendo t → ∞ .

Passo 2

Para calcular a integral, vamos fazer a seguinte mudança de variável:

u = x 2 + 2 x ⇒ d u = 2 x + 2   d x ⇒ x + 1   d x = d u 2

Além disso, se x = 1 ⇒ u = 3 e para x = t , u = t 2 + 2 t . Desta forma, a integral fica

∫ 1 t x + 1 x 2 + 2 x   d x = 1 2 ∫ 3 t 2 + 2 t 1 u   d u = 1 2 ln ⁡ u 3 t 2 + 2 t = 1 2 ln ⁡ t 2 + 2 t - ln ⁡ 3

Passo 3

Assim, tomando o limite:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t x + 1 x 2 + 2 x   d x = lim t → ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ t 2 + 2 t - ln ⁡ 3

Como t 2 + 2 t → ∞ e, neste caso, ln ⁡ ( t 2 + 2 t ) → ∞ , vemos que o limite é infinito e a integral diverge.

Resposta

Diverge.

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