Determine o quão grande tem de ser o número a de modo que

∫ a ∞ 1 x 2 + 1   d x < 0,001

Passo 1

Precisamos achar o número a que torna essa desigualdade válida. Como no lado direito temos uma integral imprópria, precisamos calculá-la primeiro.

Primeiro calculamos a integral

∫ a t 1 x 2 + 1 d x

e depois fazemos t → ∞ .

Passo 2

Desta forma,

∫ a t 1 x 2 + 1 d x = a r c t g   x a t = a r c t g   t - a r c t g   a

Assim,

∫ a ∞ 1 x 2 + 1   d x = lim t → ∞ ⁡ a r c t g   t - a r c t g   a = π 2 - a r c t g   a

Passo 3

Desta forma, devemos ter

π 2 - a r c t g   a < 0,001 ⇒ a r c t g   a > π 2 - 0,001

Como a tangente é crescente, isso é equivalente a

a > t g   π 2 - 0,001 = 999,9996667

Resposta

a > t g   π 2 - 0,001 ~   10 3

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