Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 74
Mostre que se para , onde e são constantes, então a transformada de Laplace existe para .
Passo 1
Para que você compreenda essa questão, aconselho que você tenha pelo menos lido o enunciado da questão 71 para entender o que é uma transformada de Laplace. Basicamente, a transformada de uma função é
se a integral convergir.
Vamos ver o que acontece se escolhermos . Em outras palavras, vamos ver em quais condições a integral
converge.
Passo 2
Vamos primeiro fazer a integral
Fazendo , a integral só será convergente se , isto é, se .
Passo 3
Bom, agora vamos ser inteligentes e usar o teorema da comparação. Sabemos que . Assim, . Desta forma, pelo teorema da comparação, se a integral de converge, a de também deve convergir, e sabemos que isso ocorre se . Portanto, provamos que existe a transformada de Laplace de neste caso.
Resposta
Demonstração.