Mostre que se 0 ≤ f(t) ≤ M * e^(at) para t >= 0 , onde M e a são constantes, então a transformada de Laplace F(s) existe para s > a .

Passo 1

Para que você compreenda essa questão, aconselho que você tenha pelo menos lido o enunciado da questão 71 para entender o que é uma transformada de Laplace. Basicamente, a transformada de uma função g é

F s = ∫ 0 ∞ g t   e - s t   d t

se a integral convergir.

Vamos ver o que acontece se escolhermos g t = M e a t . Em outras palavras, vamos ver em quais condições a integral

∫ 0 ∞ M e a t e - s t   d t

converge.

Passo 2

Vamos primeiro fazer a integral

∫ 0 y M e a - s t d t = M a - s e a - s t 0 y = M a - s e a - s y - 1

Fazendo y → + ∞ , a integral só será convergente se a - s < 0 , isto é, se s > a .

Passo 3

Bom, agora vamos ser inteligentes e usar o teorema da comparação. Sabemos que f t ≤ M e a t . Assim, f t e - t s ≤ M e a - s t . Desta forma, pelo teorema da comparação, se a integral de M e a - s t converge, a de f t e - t s também deve convergir, e sabemos que isso ocorre se s > a . Portanto, provamos que existe a transformada de Laplace de f neste caso.

Resposta

Demonstração.

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