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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.1 - Ex. 1g

Calcule, caso exista.

g) underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (x y)/(y - x^3)

Passo 1

Para resolver essa questão a primeira coisa que faremos é tentar substituir os limites de integração diretamente na função e ver se é possível calcular esse limite. Assim

underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (x y)/(y - x^3) = (0 * 0)/(0 - 0) = (0)/(0)

O que nos deu uma indeterminação. Então vamos tentar mexer um pouco nessa função pra ver se conseguimos um outro jeito de calcular esse limite.

Passo 2

Podemos colocar o y em evidência no denominador. Assim

underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (x y)/(y - x^3) = underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (x y)/(y (1 - (x^3)/(y)))

Cortando y , nosso limite se transforma em:

underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (x)/((1 - (x^3)/(y)))

Agora aplicamos o limite novamente:

underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (x)/((1 - (x^3)/(y))) = (0)/((1 - (0^3)/(0))) = (0)/(1) = 0

Perceba que no termo (0^3)/(0) , o numerado vai a zero muito mais rápido que o denominador, por isso essa parte vai a zero.

Resposta

underset((x , y) -> (0,0))(l i m) (x y)/(y - x^3) = 0

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