Calcule, underset((x , y) -> (0,0))(lim) (s e n (x^2 + y^2))/(x^2 + y^2)

Passo 1

Considere um caminho qualquer gamma (t) = (gamma_1 (t) , gamma_2 (t)) , que satisfaça a coisa: gamma (0) = (0,0) , somente neste ponto . Lembre de um resultado que vimos, que se underset(t -> t_0)(l i m) f (gamma (t)) = L , para qualquer gamma (t) , sobe aquelas condições todas, então , underset((x , y) -> (x_0 , x_0))(lim) f (x , y) = L . Então, vamos tentar usar essa informação.

Daí,

underset(t -> (0))(l i m) f (gamma (t)) = underset(t -> (0))(l i m) (s e n (gamma_1 (t)^2 + gamma_2 (t)^2))/(gamma_1 (t)^2 + gamma_2 (t)^2)

Perceba que o argumento do seno e o denominador estão em função de uma variável, é como se estivéssemos calculando o underset(u -> (0))(l i m) (s e n (u))/(u) , que é um limite fundamental e que a gente já conhece.

underset(t -> (0))(l i m) f (gamma (t)) = underset(t -> (0))(l i m) (s e n (gamma_1 (t)^2 + gamma_2 (t)^2))/(gamma_1 (t)^2 + gamma_2 (t)^2) = 1

Usando o que pensamos lá em cima...

underset((x , y) -> (0,0))(lim) (s e n (x^2 + y^2))/(x^2 + y^2) = 1

Resposta

underset((x , y) -> (0,0))(lim) (s e n (x^2 + y^2))/(x^2 + y^2) = 1

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