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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 1e

1. Calcule o comprimento da curva dada:

e)

gamma (t) = (t , ln (t)) , t in [1 , e]

Passo 1

Como queremos calcular o comprimento da curva e ele nos deu a equação parametrizada, vamos usar o seguinte:

L (gamma) = int_a^b ‖gamma^' (t)‖ d t

Que nos dá o comprimento da curva gamma entre os pontos [a , b] . Primeiro vamos achar gamma^' (t) .

gamma (t) = (t , ln (t))

Derivando,

gamma^' (t) = (1 , (1)/(t))

Passo 2

Agora, vamos encontrar ‖gamma^' (t)‖ e em seguida integrar,

‖gamma^' (t)‖ = sqrt((1)^2 + ((1)/(t))^2)

Assim,

‖gamma^' (t)‖ = sqrt(1 + (1)/(t^2))

Passo 3

Integrando, temos:

L (gamma) = int_1^e ‖gamma^' (t)‖ d t

Isto é,

L (gamma) = int_1^e sqrt(1 + (1)/(t^2)) d t

Logo,

L (gamma) = int_1^e (sqrt(t^2 + 1))/(t) d t

Para resolvermos essa integral, vamos fazer a seguinte substituição:

t = t g (theta)

Derivando,

d t = s e c^2 (theta) d theta

Como 1 + t g^2 (theta) = sec^2 (theta) :

d t = (1 + t^2) d t

Como fizemos uma substituição, temos que mudar os limites de integração. Assim,

t = 1 :

t g (theta) = 1 -> theta = (pi)/(4)

t = e :

t g (theta) = e -> theta = a r c t g (e)

Passo 4

Então, temo o seguinte:

L (gamma) = int_((pi)/(4))^(a r c t g ( e )) (sqrt(1 + t g^2 (theta)))/(t g (theta)) s e c^2 (theta) d theta

Então,

L (gamma) = int_((pi)/(4))^(a r c t g ( e )) (s e c^3 (theta))/(t g (theta)) d theta

Reescrevendo o termo integrante:

(s e c^3 (theta))/(t g (theta)) = (sec (theta))/(t g (theta)) sec^2 (theta) -> (s e c^3 (theta))/(t g (theta)) = csc (theta) sec^2 (theta)

Logo,

L (gamma) = int_((pi)/(4))^(a r c t g ( e )) csc (theta) sec^2 (theta) d theta

Usando que 1 + t g^2 (theta) = sec^2 (theta) :

L (gamma) = int_((pi)/(4))^(a r c t g ( e )) csc (theta) (1 + t g^2 (theta)) d theta

Isto é,

L (gamma) = int_((pi)/(4))^(a r c t g ( e )) ( csc (theta) + t g (theta) sec (theta) ) d theta

Separando em dois termos:

L (gamma) = int_((pi)/(4))^(a r c t g ( e )) csc (theta) d theta + int_((pi)/(4))^(a r c t g ( e )) t g (theta) sec (theta) d theta

Não esquece: int csc (x) d x = - l n | c s c (x) + c o t g ( x ) | + c

Não esquece: int t g (x) sec (x) d x = s e c ( x ) + c

L (gamma) = [- l n | c s c (theta) + c o t g ( theta )]_((pi)/(4))^(a r c t g (e)) + [s e c ( theta )]_((pi)/(4))^(a r c t g (e))

Fazendo as contas:

L (gamma) = 1 - sqrt(2) + sqrt(1 + e^2) + ln ((1 + sqrt(2))/(1 + sqrt(1 + e^2)))

Resposta

L (gamma) = 1 - sqrt(2) + sqrt(1 + e^2) + ln ((1 + sqrt(2))/(1 + sqrt(1 + e^2)))

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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