Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 26g
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
Passo 1
Galera, vamos relembrar o que é essa função comprimento de arco? Ela é uma que dá exatamente o que o nome indica: o comprimento da função! E o melhor, a gente pode usar pra calcular esse tamanho no intervalo que quisermos. Essa função vai ser escrita assim:
O que a gente vai fazer então é derivar a função que o enunciado der, calcular o módulo dessa derivada, e depois integrar no intervalo que queremos. Até aí calculamos . Depois disso, encontramos a inversa dessa função, , e aí a nossa função reparametrizada vai ser , aí fechou.
Passo 2
Pra derivar a função , a gente vai derivar cada uma das suas componentes. Não esquece da regra da cadeia, hein!
Derivando,
Dando uma breve arrumadinha:
Passo 3
Beleza, já tá derivado, então é hora de partir pro módulo dessa derivada!
Desenvolvendo as contas:
Botando em evidência:
Essa é a relação fundamental da trigonometria que apareceu ali!
Portanto, o módulo vai ficar:
Usando o arco duplo:
Passo 4
Agora só falta integrar! Como não temos nenhuma restrição, os nossos limites de integração vão ser e .
Tirando as contantes:
Integrando:
Substituindo os limites de integração:
Como :
Com variando de a .
Passo 5
Agora temos que achar a função inversa, . É assim: nós temos em função de , certo?
Pra encontrar a inversa, a gente só precisa isolar o em função de .
Tirando o quadrado,
E usando a inversa do seno:
E ajeitando o intervalo que estamos considerando:
Assim,
Passo 6
Prontinho, agora é só substituir a função na expressão de .
Mas
Então,