Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:

a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1

b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1

c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1

Passo 1

O enunciado nos dá uma função g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 e nos pede para calcularmos as suas derivadas no ponto dado.

CUIDADO! g x , y , z não é igual a x 2 + y 2 + z 2 !!! Não te deixes enganar.

Esta questão requer bastante aplicação da regra da cadeia, como veremos a seguir.

Passo 2

Para ∂ g ∂ x é simiples: basta derivar a g em x !

∂ ∂ x g x , y , z = ∂ ∂ x ϕ x 2 + y 2 + z 2

Oooops! Não tão simples pelo visto! E agora? Como se faz para derivar uma função desconhecida?

Bom, neste ponto, devemos invocar a famosa regra da cadeia, que vais facilitar pra gente:

∂ ∂ x g x , y , z = ∂ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ϕ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x

Note que estratégia foi deixar a derivada de ϕ como algo da forma d ϕ u u = ϕ ' . Ou seja, acabamos de mostra que

∂ ∂ x g x , y , z = ϕ ' ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x ⏟ = 2 x

Agora sim! Eu te pergunto: Quanto vale ∂ g ∂ x no ponto 1,1 , 1 ? É só substituir:

∂ g ∂ x 1,1 , 1 = ϕ ' 1 2 + 1 2 + 1 2 2 = 2 ϕ ' 3

Mas ϕ ' 3 está dada no próprio enunciado e é igual a 4. Logo:

∂ g ∂ x 1,1 , 1 = 8

Passo 3

Para ∂ g ∂ y é simiples: basta derivar a g em y !

∂ ∂ y g x , y , z = ∂ ∂ y ϕ x 2 + y 2 + z 2

Oooops! Não tão simples pelo visto! E agora? Como se faz para derivar uma função desconhecida?

Bom, neste ponto, devemos invocar a famosa regra da cadeia, que vais facilitar pra gente:

∂ ∂ y g x , y , z = ∂ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ϕ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y

Note que estratégia foi deixar a derivada de ϕ como algo da forma d ϕ u u = ϕ ' . Ou seja, acabamos de mostra que

∂ ∂ y g x , y , z = ϕ ' ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y ⏟ = 2 y

Agora sim! Eu te pergunto: Quanto vale ∂ g ∂ y no ponto 1,1 , 1 ? É só substituir:

∂ g ∂ y 1,1 , 1 = ϕ ' 1 2 + 1 2 + 1 2 2 = 2 ϕ ' 3

Mas ϕ ' 3 está dada no próprio enunciado e é igual a 4. Logo:

∂ g ∂ y 1,1 , 1 = 8

Passo 4

Por último, para ∂ g ∂ z é simples: basta derivar a g em z !

∂ ∂ z g x , y , z = ∂ ∂ z ϕ x 2 + y 2 + z 2

Oooops! Não tão simples pelo visto! E agora? Como se faz para derivar uma função desconhecida?

Bom, neste ponto, devemos invocar a famosa regra da cadeia, que vais facilitar pra gente:

∂ ∂ z g x , y , z = ∂ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ϕ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z

Note que estratégia foi deixar a derivada de ϕ como algo da forma d ϕ u u = ϕ ' . Ou seja, acabamos de mostra que

∂ ∂ z g x , y , z = ϕ ' ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z ⏟ = 2 z

Agora sim! Eu te pergunto: Quanto vale ∂ g ∂ z no ponto 1,1 , 1 ? É só substituir:

∂ g ∂ z 1,1 , 1 = ϕ ' 1 2 + 1 2 + 1 2 2 = 2 ϕ ' 3

Mas ϕ ' 3 está dada no próprio enunciado e é igual a 4. Logo:

∂ g ∂ z 1,1 , 1 = 8

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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