Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 6

Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:

a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1

b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1

c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1

Passo 1

O enunciado nos dá uma função g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 e nos pede para calcularmos as suas derivadas no ponto dado.

CUIDADO! g x , y , z não é igual a x 2 + y 2 + z 2 !!! Não te deixes enganar.

Esta questão requer bastante aplicação da regra da cadeia, como veremos a seguir.

Passo 2

Para ∂ g ∂ x é simiples: basta derivar a g em x !

∂ ∂ x g x , y , z = ∂ ∂ x ϕ x 2 + y 2 + z 2

Oooops! Não tão simples pelo visto! E agora? Como se faz para derivar uma função desconhecida?

Bom, neste ponto, devemos invocar a famosa regra da cadeia, que vais facilitar pra gente:

∂ ∂ x g x , y , z = ∂ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ϕ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x

Note que estratégia foi deixar a derivada de ϕ como algo da forma d ϕ u u = ϕ ' . Ou seja, acabamos de mostra que

∂ ∂ x g x , y , z = ϕ ' ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x ⏟ = 2 x

Agora sim! Eu te pergunto: Quanto vale ∂ g ∂ x no ponto 1,1 , 1 ? É só substituir:

∂ g ∂ x 1,1 , 1 = ϕ ' 1 2 + 1 2 + 1 2 2 = 2 ϕ ' 3

Mas ϕ ' 3 está dada no próprio enunciado e é igual a 4. Logo:

∂ g ∂ x 1,1 , 1 = 8

Passo 3

Para ∂ g ∂ y é simiples: basta derivar a g em y !

∂ ∂ y g x , y , z = ∂ ∂ y ϕ x 2 + y 2 + z 2

Oooops! Não tão simples pelo visto! E agora? Como se faz para derivar uma função desconhecida?

Bom, neste ponto, devemos invocar a famosa regra da cadeia, que vais facilitar pra gente:

∂ ∂ y g x , y , z = ∂ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ϕ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y

Note que estratégia foi deixar a derivada de ϕ como algo da forma d ϕ u u = ϕ ' . Ou seja, acabamos de mostra que

∂ ∂ y g x , y , z = ϕ ' ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ y ⏟ = 2 y

Agora sim! Eu te pergunto: Quanto vale ∂ g ∂ y no ponto 1,1 , 1 ? É só substituir:

∂ g ∂ y 1,1 , 1 = ϕ ' 1 2 + 1 2 + 1 2 2 = 2 ϕ ' 3

Mas ϕ ' 3 está dada no próprio enunciado e é igual a 4. Logo:

∂ g ∂ y 1,1 , 1 = 8

Passo 4

Por último, para ∂ g ∂ z é simples: basta derivar a g em z !

∂ ∂ z g x , y , z = ∂ ∂ z ϕ x 2 + y 2 + z 2

Oooops! Não tão simples pelo visto! E agora? Como se faz para derivar uma função desconhecida?

Bom, neste ponto, devemos invocar a famosa regra da cadeia, que vais facilitar pra gente:

∂ ∂ z g x , y , z = ∂ ∂ x 2 + y 2 + z 2 ϕ x 2 + y 2 + z 2 ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z

Note que estratégia foi deixar a derivada de ϕ como algo da forma d ϕ u u = ϕ ' . Ou seja, acabamos de mostra que

∂ ∂ z g x , y , z = ϕ ' ∂ x 2 + y 2 + z 2 ∂ z ⏟ = 2 z

Agora sim! Eu te pergunto: Quanto vale ∂ g ∂ z no ponto 1,1 , 1 ? É só substituir:

∂ g ∂ z 1,1 , 1 = ϕ ' 1 2 + 1 2 + 1 2 2 = 2 ϕ ' 3

Mas ϕ ' 3 está dada no próprio enunciado e é igual a 4. Logo:

∂ g ∂ z 1,1 , 1 = 8

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

102. a) Quantas derivadas parciais de n -ésima ordem têm uma função de duas variáveis?b) Se essas derivadas parciais forem contínuas, quantas delas podem ser distintas?c) Responda a parte a) da questã
A energia média E (em k c a l ) necessária para um lagarto caminhar ou percorrer uma distância de 1k m foi modelada pela equação: E m ,v = 2,65 m 0,66 + 3,5 m 0,75 v onde m é a massa corporal do lagar
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em metros) pode ser modelada pela função: T x ,t = T o + T 1 e - λ
Se a ,bec são os lados de um triângulo e A ,BeC são os ângulos opostos, determine ∂ A ∂ a , ∂ A ∂ b e ∂ A ∂ c pela derivação implícita da Lei dos Cossenos.
O paraboloide z = 6 - x - x 2 - 2 y ² ² intercepta o plano x = 1 em uma parábola. Determine as equações paramétricas para a reta tangente a essa parábola no ponto ( 1 ,2 ,- 4 ) . Use um computador par