Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:

r(t) = (raiz(2) * cos(t), raiz(2) * sen(t), t ∈ [0, 2π] )

Passo 1

Galera, vamos relembrar o que é essa função comprimento de arco? Ela é uma que dá exatamente o que o nome indica: o comprimento da função! E o melhor, a gente pode usar pra calcular esse tamanho no intervalo que quisermos. Essa função vai ser escrita assim:

s t = ∫ a t r ' → t * d t *

O que a gente vai fazer então é derivar a função r → ( t ) que o enunciado der, calcular o módulo dessa derivada, e depois integrar no intervalo que queremos. Até aí calculamos s ( t ) . Depois disso, encontramos a inversa dessa função, t ( s ) , e aí a nossa função reparametrizada vai ser h → s = r → ( t s ) , aí fechou.

Passo 2

Pra derivar a função r → ( t ) , a gente vai derivar cada uma das suas componentes. Não esquece da regra da cadeia, hein!

r → t = 2 cos ⁡ t ,   2 s e n t

Derivando,

r ' → t = - 2 s e n t ,   2 c o s t

Passo 3

Beleza, já tá derivado, então é hora de partir pro módulo dessa derivada!

r ' → t 2 = - 2 s e n t 2 +   2 c o s t 2

Desenvolvendo as contas:

r ' → t 2 = 2 s e n 2 t + 2 cos 2 ⁡ t

Botando o 2 em evidência:

r ' → t 2 = 2 ( s e n 2 t + cos 2 ⁡ t )

Essa é a relação fundamental da trigonometria que apareceu ali!

r ' → t 2 = 2

Portanto, o módulo vai ficar:

r ' → t = 2

Passo 4

Agora só falta integrar! Como não temos nenhuma restrição, os nossos limites de integração vão ser 0 e t .

s t = ∫ 0 t 2 d t *

Integrando:

s t = 2 t * 0 t

Substituindo os limites de integração:

s t = 2 t

Passo 5

Agora temos que achar a função inversa, t ( s ) . É assim: nós temos s em função de t , certo?

s = 2 t

Pra encontrar a inversa, a gente só precisa isolar o t em função de s :

t = s 2

E também vamos ver o intervalo que estávamos:

t ∈ 0,2 π

Nesse intervalo, substituindo em s = 2 t :

s ∈ 0 ,   2 2 π

Passo 6

Prontinho, agora é só substituir a função t ( s ) na expressão de r → ( t ) .

r → t = 2 cos ⁡ t ,   2 s e n t

h → s = r → t ( s ) = 2 cos ⁡ s 2 ,   2 s e n s 2 ,   s ∈ 0 ,   2 2 π

Resposta

2 cos ⁡ s 2 ,   2 s e n s 2 ,   s ∈ 0 ,   2 2 π

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