Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.2 - Ex. 48
Ache o comprimento do laço da curva .
Passo 1
Eaee, belezinha??? Bom... Queremos calcular o comprimento da curva .
Para isso, sabemos que o comprimento de uma curva pode ser calculado pela integral:
Bom... nós sabemos calcular, resta encontrar os limites de integração e .
Para isso, podemos encontrar esses valores quando .
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Fazendo e achando os valores de , temos:
Isolando o :
Então nossas soluções são: .
Perceba que:
- Quando , temos e
- Quando temos e
- E quando temos e
Isso significa que o laço existe para
Passo 3
Agora vamos calcular as derivadas:
E
Agora vamos colocar na integral!!!
Passo 4
Agora podemos calcular nossa integral:
Como é um fator comum a todos os termos dentro da raiz, a gente pode colocar ele para fora (só que retirando o quadrado, pois saiu da raiz):
Extendendo os termos, temos:
Cancelando a raiz:
Fazendo a integral:
Aplicando os limites de integração:
Então o comprimento dessa curva é