Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.2 - Ex. 48

Ache o comprimento do laço da curva .

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... Queremos calcular o comprimento da curva .

Para isso, sabemos que o comprimento de uma curva pode ser calculado pela integral:

Bom... nós sabemos calcular, resta encontrar os limites de integração e .

Para isso, podemos encontrar esses valores quando .

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Fazendo e achando os valores de , temos:

Isolando o :

Então nossas soluções são: .

Perceba que:

Quando , temos e
Quando temos e
E quando temos e

Isso significa que o laço existe para

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas:

E

Agora vamos colocar na integral!!!

Passo 4

Agora podemos calcular nossa integral:

Como é um fator comum a todos os termos dentro da raiz, a gente pode colocar ele para fora (só que retirando o quadrado, pois saiu da raiz):

Extendendo os termos, temos:

Cancelando a raiz:

Fazendo a integral:

Aplicando os limites de integração:

Então o comprimento dessa curva é

Resposta

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Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares (Utilize o exercício 2) a )ρ = θ , θ ∈ 0 , π

Calcule o comprimento da curva dada:a ) gamma (t) = (t cos t , t sin t) , t in [0 , 2 pi]

Seja γ : I → R 2 parametrizada pelo comprimento de arco (isto é: γ ' s = 1 para todo s ∈ I ).a) Verifique que, para todo s ∈ I ,k s = γ ' ' s , onde k s é a curvatura em γ s .b) Prove que se k s = 0 ,

Seja γ : I → R 2 uma curva derivável até a 2ª ordem, com γ ' t ≠ 0 no intervalo I . Seja s t = ∫ t 0 t γ ' u d u , t ∈ I , com t 0 fixo em I . Sejam, ainda, T → t = γ ' t γ ' t o versor de γ ' t e t →

Seja γ : I → R 2 uma curva derivável até a 2ª ordem, com γ ' t ≠ 0 no intervalo I . Seja s t = ∫ t 0 t γ ' u d u , t ∈ I , com t 0 fixo em I . Sejam, ainda, T → t = γ ' t γ ' t o versor de γ ' t e t →