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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 1f

1. Calcule o comprimento da curva dada:

f) γ : 0 ,   π → R 2 dada por x ( t ) = 1 - c o s ⁡ ( t ) e y t = t - s e n t

Passo 1

Nossa curva é a seguinte:

γ : 0 ,   π → R 2 dada por x t = 1 - cos ⁡ t e y t = t - s e n t

Logo,

γ t = 1 - cos ⁡ t , t - s e n t

Como queremos calcular o comprimento da curva e ele nos deu a equação parametrizada, vamos usar o seguinte:

L γ = ∫ a b γ ' t d t

Que nos dá o comprimento da curva γ entre os pontos a , b . Primeiro vamos achar γ ' t .

Derivando γ t ,

γ ' t = s e n t ,   1 - c o s ⁡ ( t )

Passo 2

Agora, vamos encontrar γ ' t e em seguida integrar,

γ ' t = s e n t 2 + 1 - cos ⁡ t 2

Assim,

γ ' t = s e n 2 t + 1 - 2 cos ⁡ t + cos 2 ⁡ t

Como s e n 2 t + c o s 2 t = 1 :

γ ' t = 2 - 2 cos ⁡ t

Passo 3

Integrando, temos:

L γ = ∫ 0 π γ ' t d t

Isto é,

L γ = ∫ 0 π 2 - 2 cos ⁡ t d t

Logo,

L γ = 2 ∫ 0 π 1 - cos ⁡ t d t

Lá da trigonometria, sabemos o seguinte:

cos ⁡ t = 1 - 2 s e n 2 t 2

Isolando s e n 2 t 2 :

1 - cos ⁡ t = 2 s e n 2 t 2

Jogando isso na nossa integral:

L γ = 2 ∫ 0 π 2 s e n 2 t 2 d t

L γ = 2 ∫ 0 π s e n t 2 d t

Não esquece: ∫ s e n a x   d x = - c o s ⁡ x a + c

L γ = 2 × - cos ⁡ t 2 1 2 0 π

Fazendo as contas:

L γ = 2 × - cos ⁡ π 2 1 2 - 2 × - cos ⁡ 0 2 1 2 = 4

Resposta

L γ = 4

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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