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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 1d

1. Calcule o comprimento da curva dada:

d)

gamma (t) = (e^(- t) cos (t) , e^(- t) s e n (t) , e^(- t)) , t in [0 , 1]

Passo 1

Como queremos calcular o comprimento da curva e ele nos deu a equação parametrizada, vamos usar o seguinte:

L (gamma) = int_a^b ‖gamma^' (t)‖ d t

Que nos dá o comprimento da curva gamma entre os pontos [a , b] . Primeiro vamos achar gamma^' (t) .

gamma (t) = ( e^(- t) cos (t) , e^(- t) s e n (t) , e^(- t) )

Derivando,

gamma^' (t) = (- e^(- t) cos (t) - e^(- t) s e n (t) , - e^(- t) s e n (t) + e^(- t) cos (t) , - e^(- t))

Não esquece da regra da cadeia!

Passo 2

Agora, vamos encontrar ‖gamma^' (t)‖ e em seguida integrar,

‖gamma^' (t)‖ = sqrt((- e^(- t) cos (t) - e^(- t) s e n (t))^2 + ( - e^(- t) s e n (t) + e^(- t) cos (t) )^2 + (- e^(- t))^2)

Assim,

‖gamma^' (t)‖ = e^(- t) sqrt(2 s e n^2 (t) + 2 cos^2 (t) + 1)

Da trigonometria:

s e n^2 (t) + cos^2 (t) = 1

Logo,

‖gamma^' (t)‖ = e^(- t) sqrt(3)

Passo 3

Integrando, temos:

L (gamma) = int_0^1 ‖gamma^' (t)‖ d t

Isto é,

L (gamma) = int_0^1 e^(- t) sqrt(3) d t

Tirando o sqrt(3) da integral:

L (gamma) = sqrt(3) int_0^1 e^(- t) d t

Não esquece: int e^(- x) d x = - e^(- x) + k

L (gamma) = sqrt(3) [- e^(- t)]_0^1

Fazendo as contas:

L (gamma) = sqrt(3) (- e^(- 1) - (- e^0))

Portanto,

L (gamma) = sqrt(3) (1 - e^(- 1))

Resposta

L (gamma) = sqrt(3) (1 - e^(- 1))

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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