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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 1c

1. Calcule o comprimento da curva dada:

c)

gamma (t) = (cos (t) , s e n (t) , e^(- t)) , t in [0 , pi]

Passo 1

Como queremos calcular o comprimento da curva e ele nos deu a equação parametrizada, vamos usar o seguinte:

L (gamma) = int_a^b ‖gamma^' (t)‖ d t

Que nos dá o comprimento da curva gamma entre os pontos [a , b] . Primeiro vamos achar gamma^' (t) .

gamma (t) = (cos (t) , s e n (t) , e^(- t))

Derivando,

gamma^' (t) = (- s e n (t) , cos (t) , - e^(- t))

Não esquece da regra da cadeia!

Passo 2

Agora, vamos encontrar ‖gamma^' (t)‖ e em seguida integrar.

‖gamma^' (t)‖ = sqrt((- s e n ( t ))^2 + (cos (t))^2 + (- e^(- t))^2)

Assim,

‖gamma^' (t)‖ = sqrt(s e n^2 (t) + cos^2 (t) + e^(- 2 t))

Da trigonometria:

s e n^2 (t) + cos^2 (t) = 1

Logo,

‖gamma^' (t)‖ = sqrt(1 + e^(- 2 t))

Passo 3

Integrando, temos:

L (gamma) = int_0^(pi) ‖gamma^' (t)‖ d t

Isto é,

L (gamma) = int_0^(pi) sqrt(1 + e^(- 2 t)) d t

Como essa raiz está meio feia, vamos fazer a seguinte substituição:

e^(- t) = t g (theta)

Derivando,

e^(- t) d t = sec^2 (theta) d theta

Isolando d t :

d t = - (sec^2 ( theta ))/(e^(- t)) d theta

Como e^(- t) = t g (theta) :

d t = - (sec^2 ( theta ))/(t g ( theta )) d theta

Como fizemos uma substituição, temos que mudar os limites de integração.

t = 0 :

e^(- 0) = t g (theta)

Então,

t g (theta) = 1 -> theta = (pi)/(4)

t = pi :

t g ( theta ) = e^(- pi)

Então,

theta = a r c t g (e^(- pi))

Passo 4

Nossa integral fica o seguinte:

L (gamma) = int_((pi)/(4))^(a r c t g (e^(- pi))) sqrt(1 + t g^2 (theta)) (- (sec^2 (theta))/(t g (theta)) d theta)

Como 1 + t g^2 (theta) = s e c^2 ( theta ) :

L (gamma) = - int_((pi)/(4))^(a r c t g (e^(- pi))) (sec^3 (theta))/(t g (theta)) d theta

L (gamma) = - int_((pi)/(4))^(a r c t g ( e^(- pi) )) (s e c^3 (theta))/(t g (theta)) d theta

Reescrevendo o termo integrante:

(s e c^3 (theta))/(t g (theta)) = (sec (theta))/(t g (theta)) sec^2 (theta) -> (s e c^3 (theta))/(t g (theta)) = csc (theta) sec^2 (theta)

Logo,

L (gamma) = - int_((pi)/(4))^(a r c t g ( e^(- pi) )) csc (theta) sec^2 (theta) d theta

Usando que 1 + t g^2 (theta) = sec^2 (theta) :

L (gamma) = - int_((pi)/(4))^(a r c t g ( e^(- pi) )) csc (theta) (1 + t g^2 (theta)) d theta

Isto é,

L (gamma) = - int_((pi)/(4))^(a r c t g ( e^(- pi) )) ( csc (theta) + t g (theta) sec (theta) ) d theta

Separando em dois termos:

L (gamma) = - int_((pi)/(4))^(a r c t g ( e^(- pi) )) csc (theta) d theta + int_((pi)/(4))^(a r c t g ( e^(- pi) )) t g (theta) sec (theta) d theta

Não esquece: int csc (x) d x = - l n | c s c (x) + c o t g ( x ) | + c

Não esquece: int t g (x) sec (x) d x = s e c ( x ) + c

L (gamma) = [- l n | c s c (theta) + c o t g ( theta )]_((pi)/(4))^(a r c t g (e^(- pi))) + [s e c ( theta )]_((pi)/(4))^(a r c t g (e^(- pi)))

Fazendo as contas:

L (gamma) = pi + sqrt(2) - sqrt(1 + e^(- 2 pi)) + ln ((1 + sqrt(1 + e^(- 2 pi)))/(1 + sqrt(2)))

Resposta

L (gamma) = pi + sqrt(2) - sqrt(1 + e^(- 2 pi)) + ln ((1 + sqrt(1 + e^(- 2 pi)))/(1 + sqrt(2)))

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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