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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 25f

Escrever a função comprimento de arco de:

vec r (t) = (a cos^3 t , a s e n^3 t) , t in [0 , (pi)/(2)]

Passo 1

Galera, vamos relembrar o que é essa função comprimento de arco? Ela é uma que dá exatamente o que o nome indica: o comprimento da função! E o melhor, a gente pode usar pra calcular esse tamanho no intervalo que quisermos. Essa função vai ser escrita assim:

s (t) = int_a^t |vec r^' (t^*)| d t^*

O que a gente vai fazer então é derivar a função vec r ( t ) que o enunciado der, calcular o módulo dessa derivada, e depois integrar no intervalo que queremos, e aí fechou. Bora lá!

Passo 2

Pra derivar a função vec r ( t ) , a gente vai derivar cada uma das suas componentes. Não esquece da regra da cadeia, hein!

vec r (t) = (a cos^3 t , a s e n^3 t)

Derivando,

vec r^' (t) = (3 a cos^2 t (- s e n t) , 3 a s e n^2 t cos t)

Dando uma breve arrumadinha:

vec r^' (t) = (- 3 a cos^2 t s e n t , 3 a s e n^2 t cos t)

Passo 3

Beleza, já tá derivado, então é hora de partir pro módulo dessa derivada!

|vec r^' (t)|^2 = (- 3 a cos^2 t s e n t)^2 + (3 a s e n^2 t cos t)^2

Desenvolvendo as contas:

|vec r^' (t)|^2 = 9 a^2 cos^4 t s e n^2 t + 9 a^2 s e n^4 t c o s^2 t

Botando 9 a^2 cos^2 t s e n^2 t em evidência:

|vec r^' (t)|^2 = 9 a^2 cos^2 t s e n^2 t (cos^2 t + s e n^2 t)

Essa é a relação fundamental da trigonometria que apareceu ali!

|vec r^' (t)|^2 = 9 a^2 cos^2 t s e n^2 t

Portanto, o módulo vai ficar:

|vec r^' (t)| = 3 a cos t s e n t

Usando o arco duplo:

|vec r^' (t)| = (3 a)/(2) s e n (2 t)

Passo 4

Agora só falta integrar! Como não temos nenhuma restrição, os nossos limites de integração vão ser 0 e t .

s (t) = int_0^t |vec r^' (t^*)| d t^*

s (t) = int_0^t (3 a)/(2) s e n (2 t^*) d t^*

Tirando as contantes:

s (t) = (3 a)/(2) int_0^t s e n (2 t^*) d t^*

Integrando:

s (t) = (3 a)/(2) (- (cos (2 t^*))/(2))_0^t

Substituindo os limites de integração:

s (t) = (3 a)/(4) (- cos (2 t) - (- c o s 0))

s (t) = (3 a)/(4) (1 - cos (2 t))

Como cos (2 t) = 1 - 2 s e n^2 t :

s (t) = (3 a)/(2) s e n^2 t

Com t variando de 0 a (pi)/(2) .

Resposta

s (t) = (3 a)/(2) s e n^2 t , t in [0 , (pi)/(2)]

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