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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 384cd

Calcule:

a ) s e n (a r c t g 2 + a r c t g 3) .

b ) cos (a r c t g 2 - a r c t g (1)/(2)) .

c ) t g (2 a r c t g (1)/(5)) .

d ) cos (3 a r c t g (24)/(7)) .

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções circulares inversas. Usando o passo a passo dos exercícios resolvidos 381 e 383, e mais alguns conceitos aprendidos anteriormente, e continuando a resolução do exercício 384, teremos:

Item c

Sabendo que:

t g (2 alpha) = (2 t g alpha)/(1 - t g^2 alpha)

E fazendo:

alpha = a r c t g (1)/(5)

Teremos que:

alpha = a r c t g (1)/(5) = > t g alpha = (1)/(5) e - (pi)/(2) < alpha < (pi)/(2)

Passo 2

Substituindo na relação inicial teremos:

t g (2 a r c t g (1)/(5)) = t g (2 alpha) = (2 t g alpha)/(1 - t g^2 alpha) = (2 * (1)/(5))/(1 - ((1)/(5))^2) =

= ((2)/(5))/(1 - (1)/(25)) = ((2)/(5))/((24)/(25)) = (2)/(5) * (25)/(24) = (5)/(12)

Passo 3

Item d

Sabendo que:

cos (2 alpha) = cos^2 alpha - s e n^2 alpha

E fazendo:

alpha = a r c t g (24)/(7)

Devemos obter a equação para:

cos (3 alpha) = cos (2 alpha + alpha)

Segue a dedução:

cos (2 alpha + alpha) = cos 2 alpha * cos alpha - s e n 2 alpha * s e n alpha =

= (cos^2 alpha - s e n^2 alpha) * cos alpha - (2 s e n alpha c o s alpha) * s e n alpha =

= cos^3 alpha - s e n^2 alpha cos alpha - 2 s e n^2 alpha cos alpha = cos^3 alpha - 3 s e n^2 alpha cos alpha

Temos que:

alpha = a r c t g (2 4)/(7) = > t g alpha = (24)/(7) e - (pi)/(2) < alpha < (pi)/(2)

Logo:

s e n^2 alpha = (t g^2 alpha)/(1 + t g^2 alpha) = (((24)/(7))^2)/(1 + ((24)/(7))^2) = ((576)/(49))/(1 + (576)/(49)) = ((576)/(49))/((625)/(49)) = (576)/(625)

= > s e n alpha = + sqrt((576)/(625)) = (24)/(25)

E da relação fundamental temos que:

cos alpha = + sqrt(1 - s e n^2 alpha) = sqrt(1 - (576)/(625)) = sqrt((49)/(6 2 5)) = (7)/(2 5)

Passo 4

Da relação inicial teremos que:

cos (3 a r c t g (24)/(7)) = cos (3 alpha) = cos^3 alpha - 3 s e n^2 alpha cos alpha =

= ((7)/(25))^3 - 3 * ((24)/(25))^2 * (7)/(25) = (343)/(15625) - (12096)/(15625) = - (11753)/(15625)

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

c ) (5)/(12) ; d ) - (11753)/(15625)

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule:a ) s e n (a r c cos (3)/(5) - a r c cos (5)/(13)) . b ) cos (a r c s e n (7)/(25) - a r c cos (12)/(13)) . c ) tg (2 a r c cos (- (3)/(5))) . d ) cos ((1)/(2) a r c cos (7)/(25)) .
Calcule:a ) t g (a r c s e n (- (2)/(3)) + a r c s e n (1)/(4)) . b ) s e n (2 a r c s e n (- (3)/(5))) . c ) cos (3 a r c s e n (12)/(13)) .
Prove as igualdades:a ) 2 a r c t g (2)/(3) + a r c cos (12)/(13) = (pi)/(2) b ) 3 a r c s e n (1)/(4) + a r c cos (11)/(16) = (pi)/(2)
Calcule:a ) s e n (a r c cos (3)/(5) - a r c cos (5)/(13)) . b ) cos (a r c s e n (7)/(25) - a r c cos (12)/(13)) . c ) tg (2 a r c cos (- (3)/(5))) . d ) cos ((1)/(2) a r c cos (7)/(25)) .
Determine os seguintes números: a r c s e n 0 , a r c s e n (sqrt(3))/(2) , a r c s e n ((- 1)/(2)) , a r c s e n 1 e a r c s e n (- 1) .