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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 367bc

Calcule:

a ) t g (a r c s e n (- (2)/(3)) + a r c s e n (1)/(4)) .

b ) s e n (2 a r c s e n (- (3)/(5))) .

c ) cos (3 a r c s e n (12)/(13)) .

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções circulares inversas. Usando o passo a passo do exercício resolvido 366, e mais alguns conceitos aprendidos anteriormente, e continuando a resolução do exercício, teremos:

Item b

Sabendo que:

s e n (2 alpha) = 2 s e n alpha c o s alpha

E fazendo:

alpha = a r c s e n (- (3)/(5))

Teremos que:

alpha = a r c s e n (- (3)/(5)) = > s e n alpha = - (3)/(5) e - (pi)/(2) <= alpha <= (pi)/(2)

Logo:

cos alpha = + sqrt(1 - s e n^2 alpha) = sqrt(1 - (- (3)/(5))^2) = sqrt(1 - (9)/(25)) = sqrt((16)/(25)) = (4)/(5)

Com os valores de seno e cosseno obtidos, podemos usar a equação do seno do arco duplo:

s e n (2 alpha) = s e n (2 a r c s e n (- (3)/(5))) = 2 * (- (3)/(5)) * (4)/(5) = - (24)/(25)

Passo 2

Item c

Sabendo que:

cos (2 alpha) = cos^2 alpha - s e n^2 alpha

E fazendo:

alpha = a r c s e n (12)/(13)

Devemos obter a equação para:

cos (3 alpha) = cos (2 alpha + alpha)

Segue a dedução:

cos (2 alpha + alpha) = cos 2 alpha * cos alpha - s e n 2 alpha * s e n alpha =

= (cos^2 alpha - s e n^2 alpha) * cos alpha - (2 s e n alpha c o s alpha) * s e n alpha =

= cos^3 alpha - s e n^2 alpha cos alpha - 2 s e n^2 alpha cos alpha = cos^3 alpha - 3 s e n^2 alpha cos alpha

Passo 3

Com essa formulação obtida, vamos determinar o seno e o cosseno do ângulo:

alpha = a r c s e n (12)/(13) = > s e n alpha = (12)/(13) e - (pi)/(2) <= alpha <= (pi)/(2)

E daí:

cos alpha = + sqrt(1 - s e n^2 alpha) = sqrt(1 - ((12)/(13))^2) = sqrt(1 - (144)/(169)) = sqrt((25)/(169)) = (5)/(13)

Substituindo na formulação obtida no passo 2, teremos que:

cos (3 alpha) = cos (3 a r c s e n (12)/(13)) = ((5)/(13))^3 - 3 ((12)/(13))^2 ((5)/(13)) = (125)/(2197) - (2160)/(2197) = - (2035)/(2197)

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

b ) - (24)/(25) ; c ) - (2035)/(2197)

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os seguintes números: a r c s e n 0 , a r c s e n (sqrt(3))/(2) , a r c s e n ((- 1)/(2)) , a r c s e n 1 e a r c s e n (- 1) .
Prove as igualdades:a ) 2 a r c t g (2)/(3) + a r c cos (12)/(13) = (pi)/(2) b ) 3 a r c s e n (1)/(4) + a r c cos (11)/(16) = (pi)/(2)
Calcule s e n (a r c cos (- (3)/(5))) .
Calcule:a ) s e n (a r c t g 2 + a r c t g 3) . b ) cos (a r c t g 2 - a r c t g (1)/(2)) . c ) t g (2 a r c t g (1)/(5)) . d ) cos (3 a r c t g (24)/(7)) .
Calcule:a ) t g (a r c s e n (- (2)/(3)) + a r c s e n (1)/(4)) . b ) s e n (2 a r c s e n (- (3)/(5))) . c ) cos (3 a r c s e n (12)/(13)) .