Prove as igualdades:

a) 2 \* arctg(2/3) + arccos(12/13) = pi/2

b) 3 arc sen(1/4) + arc cos(11/16) = pi / 2

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções circulares inversas. Usando o passo a passo dos exercícios anteriores, teremos:

Item a

Podemos reescrever a igualdade aplicando seno de ambos os lados da equação:

s e n 2 a r c t g 2 3 + a r c cos ⁡ 12 13 = s e n π 2

Fazendo:

α = a r c   t g 2 3   e   β = a r c cos ⁡ 12 13

Teremos que:

α = a r c   t g 2 3 = > t g   α = 2 3   e   - π 2 < α < π 2

E:

β = a r c cos ⁡ 12 13 = > cos ⁡ β = 12 13   e   0 ≤ β ≤ π

A igualdade que desejamos provar pode ser reescrita novamente como:

s e n 2 α + β = 1

Passo 2

Desenvolvendo o termo da esquerda da igualdade, teremos:

s e n 2 α + β = s e n 2 α cos ⁡ β + s e n   β cos ⁡ 2 α

Lembrando ainda que:

s e n   2 α = 2 s e n   α cos ⁡ α

E:

cos ⁡ 2 α = cos 2 ⁡ α - s e n 2   α

Daí, teremos que:

s e n 2 α + β = s e n 2 α cos ⁡ β + s e n   β cos ⁡ 2 α =

= 2 s e n   α cos ⁡ α cos ⁡ β + s e n   β cos 2 ⁡ α - s e n 2   α =

= 2 s e n   α cos ⁡ α cos ⁡ β + s e n   β cos 2 ⁡ α - s e n   β s e n 2   α

Logo, se provarmos que:

2 s e n   α cos ⁡ α cos ⁡ β + s e n   β cos 2 ⁡ α - s e n   β s e n 2   α = 1

Provamos a igualdade dada no item a. Para isso precisamos determinar os valores de seno e cosseno de α, e seno de β.

Passo 3

Sabemos que:

s e n 2 α = t g 2   α 1 + t g 2   α = 2 3 2 1 + 2 3 2 = 4 9 1 + 4 9 = 4 9 13 9 = 4 13

= > s e n   α = + 4 13 = 2 13

Que racionalizando fica:

s e n   α = 2 13 ∙ 13 13 = 2 13 13

E da relação fundamental temos que:

cos ⁡ α = + 1 - s e n 2 α = 1 - 4 13 = 9 13 = 3 13

Que racionalizando fica:

cos ⁡ α = 3 13 ∙ 13 13 = 3 13 13

Temos também que:

s e n   β = + 1 - cos 2 ⁡ β = 1 - 12 13 2 = 1 - 144 169 = 25 1 36 = 5 13

Passo 4

Substituindo no lado esquerdo da igualdade:

2 s e n   α cos ⁡ α cos ⁡ β + s e n   β cos 2 ⁡ α - s e n   β s e n 2   α = 1

Teremos:

2 ∙ 2 13 13 ∙ 3 13 13 ∙ 12 13 + 5 13 ∙ 3 13 13 2 - 5 13 ∙ 2 13 13 2 =

= 12 ∙ 13 169 ∙ 12 13 + 5 13 ∙ 9 ∙ 13 169 - 5 13 ∙ 4 ∙ 13 169 = 144 169 + 45 169 - 20 169 = 189 - 20 169 = 1

Logo, a igualdade está provada.

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

Ver passo a passo.

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