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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 387a

Prove as igualdades:

a ) 2 a r c t g (2)/(3) + a r c cos (12)/(13) = (pi)/(2)

b ) 3 a r c s e n (1)/(4) + a r c cos (11)/(16) = (pi)/(2)

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções circulares inversas. Usando o passo a passo dos exercícios anteriores, teremos:

Item a

Podemos reescrever a igualdade aplicando seno de ambos os lados da equação:

s e n (2 a r c t g (2)/(3) + a r c cos (12)/(13)) = s e n (pi)/(2)

Fazendo:

alpha = a r c t g (2)/(3) e beta = a r c cos (12)/(13)

Teremos que:

alpha = a r c t g (2)/(3) = > t g alpha = (2)/(3) e - (pi)/(2) < alpha < (pi)/(2)

E:

beta = a r c cos (12)/(13) = > cos beta = (12)/(13) e 0 <= beta <= pi

A igualdade que desejamos provar pode ser reescrita novamente como:

s e n (2 alpha + beta) = 1

Passo 2

Desenvolvendo o termo da esquerda da igualdade, teremos:

s e n (2 alpha + beta) = s e n 2 alpha cos beta + s e n beta cos 2 alpha

Lembrando ainda que:

s e n 2 alpha = 2 s e n alpha cos alpha

E:

cos 2 alpha = cos^2 alpha - s e n^2 alpha

Daí, teremos que:

s e n (2 alpha + beta) = s e n 2 alpha cos beta + s e n beta cos 2 alpha =

= (2 s e n alpha cos alpha) cos beta + s e n beta (cos^2 alpha - s e n^2 alpha) =

= 2 s e n alpha cos alpha cos beta + s e n beta cos^2 alpha - s e n beta s e n^2 alpha

Logo, se provarmos que:

2 s e n alpha cos alpha cos beta + s e n beta cos^2 alpha - s e n beta s e n^2 alpha = 1

Provamos a igualdade dada no item a. Para isso precisamos determinar os valores de seno e cosseno de α, e seno de β.

Passo 3

Sabemos que:

s e n^2 alpha = (t g^2 alpha)/(1 + t g^2 alpha) = (((2)/(3))^2)/(1 + ((2)/(3))^2) = ((4)/(9))/(1 + (4)/(9)) = ((4)/(9))/((13)/(9)) = (4)/(13)

= > s e n alpha = + sqrt((4)/(13)) = (2)/(sqrt(13))

Que racionalizando fica:

s e n alpha = (2)/(sqrt(13)) * (sqrt(13))/(sqrt(13)) = (2 sqrt(13))/(13)

E da relação fundamental temos que:

cos alpha = + sqrt(1 - s e n^2 alpha) = sqrt(1 - (4)/(13)) = sqrt((9)/(13)) = (3)/(sqrt(13))

Que racionalizando fica:

cos alpha = (3)/(sqrt(13)) * (sqrt(13))/(sqrt(13)) = (3 sqrt(13))/(13)

Temos também que:

s e n beta = + sqrt(1 - cos^2 beta) = sqrt(1 - ((12)/(13))^2) = sqrt(1 - (144)/(169)) = sqrt((25)/(1 36)) = (5)/(13)

Passo 4

Substituindo no lado esquerdo da igualdade:

2 s e n alpha cos alpha cos beta + s e n beta cos^2 alpha - s e n beta s e n^2 alpha = 1

Teremos:

2 * (2 sqrt(13))/(13) * (3 sqrt(13))/(13) * (12)/(13) + (5)/(13) * ((3 sqrt(13))/(13))^2 - (5)/(13) * ((2 sqrt(13))/(13))^2 =

= (12 * 13)/(169) * (12)/(13) + (5)/(13) * (9 * 13)/(169) - (5)/(13) * (4 * 13)/(169) = (144)/(169) + (45)/(169) - (20)/(169) = (189 - 20)/(169) = 1

Logo, a igualdade está provada.

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

Ver passo a passo.

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