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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 29

Calcule a derivada indicada.

(d)/(d y) (tan sqrt(y) sec sqrt(y))

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. Vamos aplicar a regra do produto primeiro:

(d)/(d y) (tan sqrt(y) sec sqrt(y)) = (tan sqrt(y))^' * sec sqrt(y) + tan sqrt(y) * (sec sqrt(y))^'

Agora basta calcular as derivadas restantes.

Passo 2

Agora vamos lembrar que a derivada da secante é secante vezes tangentes e a derivada da tangente é secante ao quadrado. Assim,

(tan sqrt(y))^' = sec^2 sqrt(y) * (sqrt(y))^'

(sec sqrt(y))^' = sec sqrt(y) tan sqrt(y) * (sqrt(y))^'

Assim, substituindo na expressão do passo 1:

(d)/(d y) (tan sqrt(y) sec sqrt(y)) = (sec^2 sqrt(y) * sec sqrt(y) + sec sqrt(y) tan sqrt(y) * tan sqrt(y)) * (sqrt(y))^'

Portanto,

(d)/(d y) (tan sqrt(y) sec sqrt(y)) = sec sqrt(y) (sec^2 sqrt(y) + tan^2 sqrt(y)) * (sqrt(y))^'

Passo 3

Vamos calcular (sqrt(y))^' :

(sqrt(y))^' = (y^((1)/(2)))^' = (1)/(2) y^(- 1 // 2) = (1)/(2 sqrt(y))

Portanto,

(d)/(d y) (tan sqrt(y) sec sqrt(y)) = (sec sqrt(y))/(2 sqrt(y)) (sec^2 sqrt(y) + tan^2 sqrt(y))

Resposta

(d)/(d y) (tan sqrt(y) sec sqrt(y)) = (sec sqrt(y))/(2 sqrt(y)) (sec^2 sqrt(y) + tan^2 sqrt(y))

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