Calcule a derivada indicada.

D_x( (4x + 6) / raiz(x^2 + 3x + 4) )

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. Vamos começar aplicando a regra do quociente:

D x 4 x + 6 x 2 + 3 x + 4 = 4 x + 6 ' ⋅ x 2 + 3 x + 4 - 4 x + 6 ⋅ x 2 + 3 x + 4 ' x 2 + 3 x + 4 2

Assim,

D x 4 x + 6 x 2 + 3 x + 4 = 4 x 2 + 3 x + 4 - 4 x + 6 x 2 + 3 x + 4 ' x 2 + 3 x + 4

Passo 2

Vamos calcular x 2 + 3 x + 4 ' usando a regra da cadeia:

x 2 + 3 x + 4 ' = x 2 + 3 x + 4 1 2 ' = 1 2 x 2 + 3 x + 4 - 1 2 ⋅ x 2 + 3 x + 4 '

Assim,

x 2 + 3 x + 4 ' = 2 x + 3 2   x 2 + 3 x + 4

Passo 3

Substituindo de volta na expressão encontrada no passo 1:

D x 4 x + 6 x 2 + 3 x + 4 = 4 x 2 + 3 x + 4 - 4 x + 6 ( 2 x + 3 ) 2   x 2 + 3 x + 4 x 2 + 3 x + 4

Eu sei que você deve querer parar por aqui e de fato, você pode fazer isso, mas como um treino algébrico, vamos tentar simplificar um pouco essa expressão.

Vamos olhar para o numerador primeiro:

4 x 2 + 3 x + 4 - 4 x + 6 2 x + 3 2   x 2 + 3 x + 4 = 4 x 2 + 3 x + 4 - 2 2 x + 3 ( 2 x + 3 ) 2   x 2 + 3 x + 4

Assim,

4 x 2 + 3 x + 4 - 4 x + 6 2 x + 3 2   x 2 + 3 x + 4 = 4 x 2 + 3 x + 4 - 2 x + 3 2 x 2 + 3 x + 4

Desta forma,

4 x 2 + 3 x + 4 - 4 x + 6 2 x + 3 2   x 2 + 3 x + 4 = 4 x 2 + 3 x + 4 - 4 x 2 + 12 x + 9 x 2 + 3 x + 4 = 7 x 2 + 3 x + 4

Portanto, a derivada pode ser escrita como

D x 4 x + 6 x 2 + 3 x + 4 = 7 x 2 + 3 x + 4 x 2 + 3 x + 4 = 7 x 2 + 3 x + 4 3

Resposta

D x 4 x + 6 x 2 + 3 x + 4 = 7 x 2 + 3 x + 4 3

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