Enunciado

Calcule a derivada indicada.

D_x ((4 x + 6)/(sqrt(x^2 + 3 x + 4)))

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. Vamos começar aplicando a regra do quociente:

D_x ((4 x + 6)/(sqrt(x^2 + 3 x + 4))) = ((4 x + 6)^' * sqrt(x^2 + 3 x + 4) - (4 x + 6) * (sqrt(x^2 + 3 x + 4))^')/((sqrt(x^2 + 3 x + 4))^2)

Assim,

D_x ((4 x + 6)/(sqrt(x^2 + 3 x + 4))) = (4 sqrt(x^2 + 3 x + 4) - (4 x + 6) (sqrt(x^2 + 3 x + 4))^')/(x^2 + 3 x + 4)

Passo 2

Vamos calcular (sqrt(x^2 + 3 x + 4))^' usando a regra da cadeia:

(sqrt(x^2 + 3 x + 4))^' = ((x^2 + 3 x + 4)^((1)/(2)))^' = (1)/(2) (x^2 + 3 x + 4)^(- (1)/(2)) * (x^2 + 3 x + 4)^'

Assim,

(sqrt(x^2 + 3 x + 4))^' = (2 x + 3)/(2 sqrt(x^2 + 3 x + 4))

Passo 3

Substituindo de volta na expressão encontrada no passo 1:

D_x ((4 x + 6)/(sqrt(x^2 + 3 x + 4))) = (4 sqrt(x^2 + 3 x + 4) - ((4 x + 6) ( 2 x + 3 ))/(2 sqrt(x^2 + 3 x + 4)))/(x^2 + 3 x + 4)

Eu sei que você deve querer parar por aqui e de fato, você pode fazer isso, mas como um treino algébrico, vamos tentar simplificar um pouco essa expressão.

Vamos olhar para o numerador primeiro:

4 sqrt(x^2 + 3 x + 4) - ((4 x + 6) (2 x + 3))/(2 sqrt(x^2 + 3 x + 4)) = 4 sqrt(x^2 + 3 x + 4) - (2 (2 x + 3) ( 2 x + 3 ))/(2 sqrt(x^2 + 3 x + 4))

Assim,

4 sqrt(x^2 + 3 x + 4) - ((4 x + 6) (2 x + 3))/(2 sqrt(x^2 + 3 x + 4)) = 4 sqrt(x^2 + 3 x + 4) - ((2 x + 3)^2)/(sqrt(x^2 + 3 x + 4))

Desta forma,

4 sqrt(x^2 + 3 x + 4) - ((4 x + 6) (2 x + 3))/(2 sqrt(x^2 + 3 x + 4)) = (4 (x^2 + 3 x + 4) - (4 x^2 + 12 x + 9))/(sqrt(x^2 + 3 x + 4)) = (7)/(sqrt(x^2 + 3 x + 4))

Portanto, a derivada pode ser escrita como

D_x ((4 x + 6)/(sqrt(x^2 + 3 x + 4))) = ((7)/(sqrt(x^2 + 3 x + 4)))/(x^2 + 3 x + 4) = (7)/(sqrt((x^2 + 3 x + 4)^3))

Resposta

D_x ((4 x + 6)/(sqrt(x^2 + 3 x + 4))) = (7)/(sqrt((x^2 + 3 x + 4)^3))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Derive.g) y = cossec 2 x
Seja g: R → R diferenciável e seja f dada por f x = xg x 2 . Verifique que f ' x = g x 2 + 2 x 2 g ' x 2
Seja y = e α x , onde α é uma raiz da equação λ 2 + a λ + b = 0 , com a e b constantes. Verifique que d 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0
Seja g uma função derivável. Verifique queb) [sec g (x)]^' = sec g (x) tan g (x) * g^' (x)
Determine alpha de modo que y = e^(alpha x) verifique a equação (d^2 y)/(d x^2) - 3 (d y)/(d x) + 2 y = 0 .