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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 32

Calcule a derivada indicada.

D_x ((4 x + 6)/(sqrt(x^2 + 3 x + 4)))

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. Vamos começar aplicando a regra do quociente:

D_x ((4 x + 6)/(sqrt(x^2 + 3 x + 4))) = ((4 x + 6)^' * sqrt(x^2 + 3 x + 4) - (4 x + 6) * (sqrt(x^2 + 3 x + 4))^')/((sqrt(x^2 + 3 x + 4))^2)

Assim,

D_x ((4 x + 6)/(sqrt(x^2 + 3 x + 4))) = (4 sqrt(x^2 + 3 x + 4) - (4 x + 6) (sqrt(x^2 + 3 x + 4))^')/(x^2 + 3 x + 4)

Passo 2

Vamos calcular (sqrt(x^2 + 3 x + 4))^' usando a regra da cadeia:

(sqrt(x^2 + 3 x + 4))^' = ((x^2 + 3 x + 4)^((1)/(2)))^' = (1)/(2) (x^2 + 3 x + 4)^(- (1)/(2)) * (x^2 + 3 x + 4)^'

Assim,

(sqrt(x^2 + 3 x + 4))^' = (2 x + 3)/(2 sqrt(x^2 + 3 x + 4))

Passo 3

Substituindo de volta na expressão encontrada no passo 1:

D_x ((4 x + 6)/(sqrt(x^2 + 3 x + 4))) = (4 sqrt(x^2 + 3 x + 4) - ((4 x + 6) ( 2 x + 3 ))/(2 sqrt(x^2 + 3 x + 4)))/(x^2 + 3 x + 4)

Eu sei que você deve querer parar por aqui e de fato, você pode fazer isso, mas como um treino algébrico, vamos tentar simplificar um pouco essa expressão.

Vamos olhar para o numerador primeiro:

4 sqrt(x^2 + 3 x + 4) - ((4 x + 6) (2 x + 3))/(2 sqrt(x^2 + 3 x + 4)) = 4 sqrt(x^2 + 3 x + 4) - (2 (2 x + 3) ( 2 x + 3 ))/(2 sqrt(x^2 + 3 x + 4))

Assim,

4 sqrt(x^2 + 3 x + 4) - ((4 x + 6) (2 x + 3))/(2 sqrt(x^2 + 3 x + 4)) = 4 sqrt(x^2 + 3 x + 4) - ((2 x + 3)^2)/(sqrt(x^2 + 3 x + 4))

Desta forma,

4 sqrt(x^2 + 3 x + 4) - ((4 x + 6) (2 x + 3))/(2 sqrt(x^2 + 3 x + 4)) = (4 (x^2 + 3 x + 4) - (4 x^2 + 12 x + 9))/(sqrt(x^2 + 3 x + 4)) = (7)/(sqrt(x^2 + 3 x + 4))

Portanto, a derivada pode ser escrita como

D_x ((4 x + 6)/(sqrt(x^2 + 3 x + 4))) = ((7)/(sqrt(x^2 + 3 x + 4)))/(x^2 + 3 x + 4) = (7)/(sqrt((x^2 + 3 x + 4)^3))

Resposta

D_x ((4 x + 6)/(sqrt(x^2 + 3 x + 4))) = (7)/(sqrt((x^2 + 3 x + 4)^3))

Ver Outros Exercícios desse livro

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Nos exercícios de 1 a 16, ache a derivada da função dada. 14 . g x = 3 x 2 + 4 x 7 + 1 10
Derive.y = e^x cos 2 x
Derive.y = (cos 5 x)/(sen 2 x)
Derive.g (t) = (e^t - e^(- t))/(e^t + e^(- t))
Seja f : R → R derivável e seja g dada por g x = f e 2 x . Supondo f ' 1 = 2 , calcule g ' 0 .