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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 10

Ache a derivada da função dada.

f (x) = 4 sec sqrt(x)

Passo 1

A questão pede para encontrarmos a derivada da função usando tudo que já sabemos das regras de derivação incluindo a derivada das funções potência:

(x^r)^' = r x^(r - 1) , s e r != 0

Como a secante é 1 sobre cosseno, devemos impor a condição cos sqrt(x) != 0 no domínio da função. Assim, sqrt(x) != (pi)/(2) + n pi , com n in Z . Portanto, o domínio de f tem as restrições

x >= 0 e x != pi^2 ((1)/(2) + n)^2 , n in Z

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia e lembrando que a derivada da secante é secante vezes tangente:

f^' (x) = 4 sec sqrt(x) tan sqrt(x) * (sqrt(x))^'

Para x > 0 , a derivada da raiz quadrada é

(sqrt(x))^' = (x^((1)/(2)))^' = (1)/(2) x^(- (1)/(2)) = (1)/(2 sqrt(x))

Assim,

f^' (x) = (2 sec sqrt(x) tan sqrt(x))/(sqrt(x))

Essa expressão é válida para

x > 0 e x != pi^2 ((1)/(2) + n)^2 , n in Z

Resposta

f^' (x) = (2 sec sqrt(x) tan sqrt(x))/(sqrt(x))

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Seja g: R → R diferenciável e seja f dada por f x = xg x 2 . Calcule f ' 1 supondo g 1 = 4 e g ' 1 = 2 .
Seja y = y (r) derivável até a 2 ª ª ordem. Verifique que(d)/(d r) (y^2 (d y)/(d r)) = 2 y ((d y)/(d r))^2 + y^2 (d^2 y)/(d r^2)
Derive.g) y = cossec 2 x
Seja g: R → R diferenciável e seja f dada por f x = xg x 2 . Verifique que f ' x = g x 2 + 2 x 2 g ' x 2
Seja y = e α x , onde α é uma raiz da equação λ 2 + a λ + b = 0 , com a e b constantes. Verifique que d 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0