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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 10

Ache a derivada da função dada.

f (x) = 4 sec sqrt(x)

Passo 1

A questão pede para encontrarmos a derivada da função usando tudo que já sabemos das regras de derivação incluindo a derivada das funções potência:

(x^r)^' = r x^(r - 1) , s e r != 0

Como a secante é 1 sobre cosseno, devemos impor a condição cos sqrt(x) != 0 no domínio da função. Assim, sqrt(x) != (pi)/(2) + n pi , com n in Z . Portanto, o domínio de f tem as restrições

x >= 0 e x != pi^2 ((1)/(2) + n)^2 , n in Z

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia e lembrando que a derivada da secante é secante vezes tangente:

f^' (x) = 4 sec sqrt(x) tan sqrt(x) * (sqrt(x))^'

Para x > 0 , a derivada da raiz quadrada é

(sqrt(x))^' = (x^((1)/(2)))^' = (1)/(2) x^(- (1)/(2)) = (1)/(2 sqrt(x))

Assim,

f^' (x) = (2 sec sqrt(x) tan sqrt(x))/(sqrt(x))

Essa expressão é válida para

x > 0 e x != pi^2 ((1)/(2) + n)^2 , n in Z

Resposta

f^' (x) = (2 sec sqrt(x) tan sqrt(x))/(sqrt(x))

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