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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.2 - Ex. 39

Calcule as derivadas à direita e à esquerda como limites para mostrar que a função não é derivável no ponto P.

Passo 1

Primeiro, devemos saber que definimos a derivada à esquerda de uma função como sendo:

d d x f x   =   lim x → k - ⁡   f x - f k x   -   k

Já a derivada à direita é definida como:

d d x f x   =   lim x → k + ⁡   f x - f k x   -   k

Passo 2

No ponto P, temos x   =   1

Logo, calcularemos as derivadas laterais utilizando k como 1

Derivando à esquerda:

d d x f x   =   lim x → k - ⁡   f x - f k x   -   k

d d x f x   =   lim x → k - ⁡   x - k x   -   k

d d x f x   =   lim x → k - ⁡   x - k ( x - k ) ( x + k )

d d x f x   =   lim x → k - ⁡   1 ( x + k )

d d x f x   =   1 ( k + k )

d d x f x   =   1 2 k

d d x f 1   =   1 2 1   =   1 2

Derivando à direita:

d d x f x   =   lim x → k + ⁡   2 x   -   1 - 2 k   -   1 x   -   k

d d x f x   =   lim x → k + ⁡   2 x - 2 k x   -   k

d d x f x   =   lim x → k + ⁡   2 1

d d x f x   =   2

Passo 3

Como as derivadas laterais são diferentes, podemos afirmar que a função não é derivável no ponto P.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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