Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

55-

y = ln(cos(x))

Passo 1

Fazendo a primeira derivada temos:

y ' = 1 cos ⁡ x × - sin ⁡ x

Agora fazendo a segunda derivada:

y ' ' = - sin ⁡ x ' c o s x - s i n ⁡ x ( c o s x ) ' cos 2 ⁡ x

y ' ' = - cos 2 ⁡ + sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = - 1 cos 2 ⁡ x

Passo 2

Pontos críticos da função ou y ' = 0

- tan ⁡ x = 0

x = 0 ± 2 k π   , k = 0,1 , 2,3 …

Note que existem assíntotas verticais na função, uma vez que l n ⁡ ( 0 ) não existe. Logo c o s ⁡ ( x ) não pode ser zero ou:

x ≠ π 2 ± 2 k π  

Assim como não pode existir log de número negativo, então não existe somente uma assíntota e sim uma área inteira onde não pode existir o gráfico da função . Que seria onde tem cosseno negativo e cosseno zero. Que é a que está entre:

π 2 ± 2 k π ≤ x ≤ 3 π 2 ± 2 k π

Passo 3

Testando esses pontos na derivada segunda teremos:

y ' ' 0 - 1 cos 2 ⁡ 0 = - 1

Logo os pontos periódicos de x = 0 ± 2 k π são pontos de máximo local

E pelo numerador sabemos que não existe nenhum ponto de inflexão .

Passo 4

Como as funções estão limitadas verticalmente num ciclo por π 2 e - π 2 devemos fazer o limite para:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x = - ∞

Logo nas duas assíntotas, esse valor tende a – infinito

Passo 5

Para apenas o primeiro ciclo que vai de x= - π 2 a x= π 2 temos os seguintes intervalos:

Pontos de teste - π 4 π 4

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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