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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.4 - Ex. 55

Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

55-

y = l n ⁡ ( c o s x )

Passo 1

Fazendo a primeira derivada temos:

y ' = 1 cos ⁡ x × - sin ⁡ x

Agora fazendo a segunda derivada:

y ' ' = - sin ⁡ x ' c o s x - s i n ⁡ x ( c o s x ) ' cos 2 ⁡ x

y ' ' = - cos 2 ⁡ + sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = - 1 cos 2 ⁡ x

Passo 2

Pontos críticos da função ou y ' = 0

- tan ⁡ x = 0

x = 0 ± 2 k π   , k = 0,1 , 2,3 …

Note que existem assíntotas verticais na função, uma vez que l n ⁡ ( 0 ) não existe. Logo c o s ⁡ ( x ) não pode ser zero ou:

x ≠ π 2 ± 2 k π  

Assim como não pode existir log de número negativo, então não existe somente uma assíntota e sim uma área inteira onde não pode existir o gráfico da função . Que seria onde tem cosseno negativo e cosseno zero. Que é a que está entre:

π 2 ± 2 k π ≤ x ≤ 3 π 2 ± 2 k π

Passo 3

Testando esses pontos na derivada segunda teremos:

y ' ' 0 - 1 cos 2 ⁡ 0 = - 1

Logo os pontos periódicos de x = 0 ± 2 k π são pontos de máximo local

E pelo numerador sabemos que não existe nenhum ponto de inflexão .

Passo 4

Como as funções estão limitadas verticalmente num ciclo por π 2 e - π 2 devemos fazer o limite para:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x = - ∞

Logo nas duas assíntotas, esse valor tende a – infinito

Passo 5

Para apenas o primeiro ciclo que vai de x= - π 2 a x= π 2 temos os seguintes intervalos:

Pontos de teste - π 4 π 4

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Faça um gráfico completo de f , indique os limites quando x → ± ∞ e localize todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (quando apropriado). f x = x 4 - 3 x 3 + 3 x 2 + 1
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta28. Se o gráfico de f tiver uma assíntota vertical em x = 1 , então f não pode ser continua em x = 1
Em cada parte, combine a função com o s gráficos I a VIa) x 1 3 b)x 1 4 c)x 1 5 d)x 2 3 e)x 4 3 f)x - 1 3
Obtenha um gráfico da função e identifique a localização de todos os pontos criticos e de inflexão. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.31. 4 x 2 - 1
Obtenha um gráfico da função e identifique a localização de todos os pontos criticos e de inflexão. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.32. x 2 - 4 3