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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.10 - Ex. 7a

Encontrar as derivadas laterais das seguintes funções, nos pontos indicados. Encontrar os intervalos onde f ' x > 0 e f ' x < 0 .

Passo 1

Pessoal, na letra (a) temos a seguinte função:

f x = x ,   x ≤ 1 1 ,   x > 1

Vamos agora calcular as derivadas laterais! Se a função y = f ( x ) está definida em x 1 , então as derivadas à direita e a esquerda de f em x 1 , denotadas por f + ' ( x 1 ) e f - ' ( x 1 ) são definidas por:

f + ' x 1 = lim ∆ x → 0 + ⁡ f x 1 + ∆ x - f x 1 ∆ x = lim x → x 1 + ⁡ f x - f x 1 x - x 1

f - ' x 1 = lim ∆ x → 0 - ⁡ f x 1 + ∆ x - f x 1 ∆ x = lim x → x 1 - ⁡ f x - f x 1 x - x 1

Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas à direita e à esquerda nesse ponto existem e são iguais. Assim, temos:

f ' 1 + = lim ∆ x → 0 + ⁡ 1 - 1 ∆ x = 0

f ' 1 - = lim ∆ x → 0 - ⁡ 1 + ∆ x - 1 ∆ x = 1

Assim, temos que

f ' x = 1 ,   x < 1 0 ,   x > 1

Portanto, f ' ( x ) é positiva em ( - ∞ , 1 ) .

Resposta

f ' 1 + = 0

f ' 1 - = 1

A derivada é positiva em ( - ∞ , 1 ) .

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