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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 36

Calcule as integrais.

Passo 1

Vamos pensar em qual seria a melhor forma de resolver esse problema, beleza?

Se pensarmos numa substituição, vai da problema porque como não tem x na substituição ficaria um termo sobrando, sacou?

Mas a ideia seria usar substituição, so que trigonométrica. Vamos lá então,

x = 3 s e n theta ⟹ d 3 c o s theta d theta

Daí,

int (d x)/(sqrt(( 9 - x^2 ))) = int (3 c o s theta)/(sqrt(( 9 - 9 s e n^2 theta ))) d theta = int (3 c o s theta)/(sqrt(9 ( 1 - s e n^2 theta ))) d theta = int (3 c o s theta)/(3 sqrt(( 1 - s e n^2 theta ))) d theta

Passo 2

Usando a identidade trigonométrica s e n^2 x + cos^2 x = 1 temos que 1 - s e n^2 x = cos^2 x

Daí,

int (3 c o s theta)/(3 sqrt(( 1 - s e n^2 theta ))) d theta = int d theta = theta + C

Passo 3

Sabendo que x = 3 s e n theta então, theta = s e n^(- 1) ((x)/(3))

Sendo assim, nossas contas ficam

int (3 c o s theta)/(3 sqrt(( 1 - s e n^2 theta ))) d theta = int d theta = theta + C = s e n^(- 1) ((x)/(3)) + C

Resposta

int (3 c o s theta)/(3 sqrt(( 1 - s e n^2 theta ))) d theta = s e n^(- 1) ((x)/(3)) + C

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