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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 67

Calcule a integral indefinida:

int (sen x + (x^2)/(sqrt(1 + x^2))) d x

Passo 1

Primeiro vamos separar a integral em duas:

int (sen x + (x^2)/(sqrt(1 + x^2))) d x = int sen x d x + int (x^2)/(sqrt(1 + x^2)) d x

Para resolver a primeira vamos usar uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int sen x d x = - cos x + C

Agora é só aplicar:

int sen x d x = - cos x + C

Passo 2

Para resolver a segunda integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(x^2 + a^2) , nesse formato de expressão vamos fazer x = a tg theta e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg^2 theta = sec^2 theta :

x = tg theta

d x = sec^2 theta d theta

Substituindo temos:

int (x^2)/(sqrt(1 + x^2)) d x = int (tg^2 theta)/(sqrt(1 + tg^2 theta)) sec^2 theta d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int (tg^2 theta)/(sqrt(1 + tg^2 theta)) sec^2 theta d theta = int (tg^2 theta)/(sqrt(sec^2 theta)) sec^2 theta d theta =

= int (tg^2 theta)/(sec theta) sec^2 theta d theta = int tg^2 theta sec theta d theta = int (sec^2 theta - 1) sec theta d theta =

= int sec^3 theta d theta + int - sec theta d theta = int sec^3 theta d theta - int sec theta d theta

Passo 3

Para calcular a primeira integral vamos usar a fórmula da Recorrência:

int sec^n u d u = (1)/(n - 1) sec^(n - 2) u tg u + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) u d u

Aplicando vamos ter:

int sec^3 theta d theta = (1)/(3 - 1) sec^(3 - 2) theta tg theta + (3 - 2)/(3 - 1) int sec^(3 - 2) theta d theta

int sec^3 theta d theta = (1)/(2) sec theta tg theta + (1)/(2) int sec theta d theta

Passo 4

Com a segunda é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int sec x d x = ln |sec x + tg x| + C

Agora é só aplicar:

int sec theta d theta = ln |sec theta + tg theta| + C

Agora vamos juntar tudo:

int (sen x + (x^2)/(sqrt(1 + x^2))) d x = int sen x d x + int (x^2)/(sqrt(1 + x^2)) d x =

= - cos x + int sec^3 theta d theta - int sec theta d theta =

= - cos x + (1)/(2) sec theta tg theta + (1)/(2) int sec theta d theta - ln |sec theta + tg theta| + C =

= - cos x + (1)/(2) sec theta tg theta + (1)/(2) ln |sec theta + tg theta| - ln |sec theta + tg theta| + C =

= - cos x + (1)/(2) sec theta tg theta - (1)/(2) ln |sec theta + tg theta| + C

Passo 5

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = tg theta , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar sec theta e tg theta :

Assim os valores de cos theta e sec theta são:

sec theta = (1)/(cos theta) = (1)/((1)/(sqrt(1 + x^2))) = sqrt(1 + x^2)

Pronto, ficamos então com:

int (sen x + (x^2)/(sqrt(1 + x^2))) d x = - cos x + (1)/(2) sec theta tg theta - (1)/(2) ln |sec theta + tg theta| + C =

= = - cos x + (1)/(2) * sqrt(1 + x^2) * x - (1)/(2) ln |sqrt(1 + x^2) + x| + C =

= = - cos x + (x)/(2) sqrt(1 + x^2) - (1)/(2) ln |sqrt(1 + x^2) + x| + C

Resposta

int (sen x + (x^2)/(sqrt(1 + x^2))) d x = - cos x + (x)/(2) sqrt(1 + x^2) - (1)/(2) ln |sqrt(1 + x^2) + x| + C

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