Enunciado

Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes.

  1. f x = sen ⁡ 2 x , 0 ≤ x ≤ π 2 1 + cos ⁡ x , π 2 < x ≤ π

  2. f x = 1 x + 1 , 0 ≤ x ≤ 2 x - 1 2 , 2 < x ≤ 4

f x = tg ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π 4 cos ⁡ 3 x , π 4 < x ≤ π 3

Passo 1

Bom, como estamos trabalhando com funções por partes, o número de integrais que temos de resolver é exatamente o número de termos que define a nossa função. Portanto, a nossa integral será:

∫ 0 π f x d x = ∫ 0 π / 2 sen ⁡ 2 x d x + ∫ π / 2 π 1 + cos ⁡ x d x

Portanto, basta resolvermos as duas integrais acima. Sendo assim, temos:

- cos ⁡ 2 x 2 0 π / 2 + x + sen ⁡ x π / 2 π

1 2 + 1 2 + π + 0 - π 2 - 1 = π 2

E este é o resultado da nossa integral.

Resposta

π 2

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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ - 1 0 e 1 x x 3 d x
Encontre os valores de p para os quais a integral converge e calcule a integral para estes valores de p . ∫ 0 1 1 x pd x
Quais das seguintes integrais é imprópria? Por que? ∫ 1 2 1 2 x - 1 d x ∫ 0 1 1 2 x - 1 d x ∫ - ∞ ∞ sen ⁡ x 1 + x 2 d x ∫ 1 2 ln ⁡ x - 1 d x
Explique por que cada uma das seguintes integrais é imprópria. ∫ 1 ∞ x 4 e - x 4 d x ∫ 1 π 2 sec ⁡ x d x ∫ 0 2 x x 2 - 5 x + 6 d x ∫ - ∞ 0 1 x 2 + 5 d x
Encontre os valores de p para os quais a integral converge e calcule a integral para estes valores de p . ∫ 0 1 x p ln ⁡ x d x