Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 21

Calcule as integrais que convirjam.

int_0^1 (d x)/(sqrt(1 - x^2))

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_0^1 (d x)/(sqrt(1 - x^2))

O integrando não está definido para o limite superior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_0^1 (d x)/(sqrt(1 - x^2)) = underset(a -> 1^-)(lim) int_0^a (d x)/(sqrt(1 - x^2))

Assim, caso o limite não exista, a integral será divergente.

Passo 3

Podemos resolver essa integral através da fórmula 2 1 que se encontra na página 490 do livro Cálculo Vol. 1 - 10 ª Ed – ANTON.

Logo:

underset(a -> 1^-)(lim) int_0^a (d x)/(sqrt(1 - x^2)) = underset(a -> 1^-)(lim) (a r c s e n (x),[[a],[0]])

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

underset(a -> 1^-)(lim) (a r c s e n (x),[[a],[0]]) = underset(a -> 1^-)(lim) (a r c s e n (a) - a r c s e n (0))

Portanto:

underset(a -> 1^-)(lim) int_0^a (d x)/(sqrt(1 - x^2)) = (pi)/(2) - 0 = (pi)/(2)

Como o limite resultou em um valor inteiro, a integral é convergente.

Resposta

int_0^1 (d x)/(sqrt(1 - x^2)) = (pi)/(2)

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