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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.15 - Ex. 10

Encontrar a área sob o gráfico da curva y = 1 // (x + 1)^2 , x >= 1 .

Passo 1

Como queremos determinar a área abaixo da curva a partir de x >= 1 , temos que resolver a seguinte integral:

int_1^(oo) (1)/((x + 1)^2) d x

Esta é uma integral imprópria. Primeiramente, precisamos realizar uma modificação nela. Com isto, teremos:

underset(b -> oo)(lim) int_1^b (1)/((x + 1)^2) d x

Agora, nosso primeiro passo será resolver a integral e obter o nosso resultado em função de b . Depois, teremos de resolver o limite associado.

Passo 2

Agora, vamos resolver a nossa integral. Portanto,

underset(b -> oo)(lim) int_1^b (1)/((x + 1)^2) d x = underset(b -> oo)(lim) (- (1)/(x + 1))_1^b = underset(b -> oo)(lim) (- (1)/(b + 1) + (1)/(2))

Resolvendo o limite agora, temos:

underset(b -> oo)(lim) (- (1)/(b + 1) + (1)/(2)) = (1)/(2)

Logo, a área abaixo da curva é:

A = (1)/(2) u . a .

Resposta

A = (1)/(2) u . a .

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