Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 1e

Em cada parte, determine se a integral é imprópria e, se for, explique por quê.

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Então, concluímos nessa parte que junto com a ideia de integral, temos a análise de funções.

A resposta terá duas possibilidades: se o nosso integrando não estiver definido em um ponto dentro do intervalo de integração, nossa integral será dita imprópria. Caso contrário, ela não será imprópria e, sim, apenas definida.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral o integrando é

Dentro do intervalo .

Passo 3

Lembrando que em uma divisão o denominador não pode ter valor nulo, temos uma restrição no valor dessa função, tal que:

No entanto, o valor está contido no intervalo de integração. Por isso, podemos concluir que nosso integrando apresenta uma descontinuidade infinita nesse ponto, o que torna nossa integral imprópria.

Além disso, o fato do intervalo de integração ser infinito é suficiente para dizer que a integral é imprópria.

Logo, a integral desse exercício é imprópria por dois motivos.