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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.15 - Ex. 9

Encontrar a área sob o gráfico da curva y = (x + 1)^(- 3 // 2) , x >= 15 .

Passo 1

Como queremos determinar a área abaixo da curva a partir de x >= 15 , temos que resolver a seguinte integral:

int_(15)^(oo) (x + 1)^(- 3 // 2) d x

Esta é uma integral imprópria. Primeiramente, precisamos realizar uma modificação nela. Com isto, teremos:

underset(b -> oo)(lim) int_(15)^b (x + 1)^(- 3 // 2) d x

Agora, nosso primeiro passo será resolver a integral e obter o nosso resultado em função de b . Depois, teremos de resolver o limite associado.

Passo 2

Agora, vamos resolver a nossa integral. Portanto,

underset(b -> oo)(lim) int_(15)^b (x + 1)^(- 3 // 2) d x = underset(b -> oo)(lim) (- 2 (x + 1)^(- 1 // 2))_(15)^b = underset(b -> oo)(lim) (- (2)/(sqrt(b + 1)) + (1)/(2))

Resolvendo o limite agora, temos:

underset(b -> oo)(lim) (- (2)/(sqrt(b + 1)) + (1)/(2)) = (1)/(2)

Logo, a área abaixo da curva é:

A = (1)/(2) u . a .

Resposta

A = (1)/(2) u . a .

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Seja F(x) = ∫ 0 x f t d to n d ef t ={ 2 s e t=1 1 s e t≠1 Verifique que F'(x) = f(x) em todo x em que f for contínua.F é derivável em x = 1? Em caso afirmativo, calcule F'(1) e compare com f(1).
Esboce o gráfico da função F dada pore) F (x) = int_0^x f (t) d t ondef (t) = {[[t s e - 2 = t = 0],[e^(- t) s e t0]])