Calcule a integral:

∫ 1 - x x   d x

Passo 1

Bom, aqui vamos usar a regra da substituição. Então vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

Considere u =   1 - x

Logo, u 2 = 1 - x

Vamos achar o diferencial de u ,   derivando:

2 u   d u =   - d x

d x =   - 2 u   d u

Agora, vamos fazer a substituição:

∫ u   ( - 2 u   d u ) 1 - u 2

∫ - 2   u 2 1 - u 2   d u

∫ 2   u 2 u 2 - 1   d u

∫ 2 +   2 u 2 - 1   d u

Passo 2

Agora, galera, observe que precisamos utilizar o método das frações parciais, mas para isso , vamos lembrar, ok?

Quando temos:

1 x 2 - a 2 =   1 ( x - a ) ( x + a ) = A x - a + B x + a

Então aplicando na fração acima, temos:

2 u 2 - 1 =   A ( u - 1 ) + B ( u + 1 )

2 = A   u + 1 + B   ( u - 1 )

2 = A u + A + B u - B

2 = A + B u + A - B

A + B = 0   e A - B = 2

Usando a segunda igualdade:

A = 2 + B

Substituindo na primeira igualdade:

2 + B + B = 0

2 B = - 2

B =   - 1

Substituindo B =   - 1 em qualquer uma das equações encontramos: A = 1

Assim, o termo 2 u 2 - 1 pode ser reescrito como:

2 u 2 - 1 =   1 ( u - 1 ) - 1 ( u + 1 )

Passo 3

Agora, ficou mais fácil para realizar a integração, vamos então reescrever:

∫ 2 +   2 u 2 - 1   d u = ∫ 2   d u +   ∫ 1 ( u - 1 ) - 1 ( u + 1 ) d u

= 2 u + l n u - 1 - ln ⁡ u + 1 + C

Calma, ainda não terminou. Temos que voltar para a variável x , vamos então escrever u =   1 - x .

∫ 1 - x x   d x = 2 1 - x + ln ⁡   1 - x - 1 - ln ⁡ 1 - x + 1 + C

Resposta

∫ 1 - x x   d x = 2 1 - x + ln ⁡   1 - x - 1 - ln ⁡ 1 - x + 1 + C

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