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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 112

Calcule a integral:

int (sqrt(1 - x))/(x) d x

Passo 1

Bom, aqui vamos usar a regra da substituição. Então vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

Considere u = sqrt(1 - x)

Logo, u^2 = 1 - x

Vamos achar o diferencial de u , derivando:

2 u d u = - d x

d x = - 2 u d u

Agora, vamos fazer a substituição:

int (u ( - 2 u d u ))/(1 - u^2)

int (- 2 u^2)/(1 - u^2) d u

int (2 u^2)/(u^2 - 1) d u

int (2 + (2)/(u^2 - 1)) d u

Passo 2

Agora, galera, observe que precisamos utilizar o método das frações parciais, mas para isso , vamos lembrar, ok?

Quando temos:

(1)/(x^2 - a^2) = (1)/(( x - a ) ( x + a )) = (A)/(x - a) + (B)/(x + a)

Então aplicando na fração acima, temos:

(2)/(u^2 - 1) = (A)/(( u - 1 )) + (B)/(( u + 1 ))

2 = A (u + 1) + B ( u - 1 )

2 = A u + A + B u - B

2 = (A + B) u + A - B

A + B = 0 e A - B = 2

Usando a segunda igualdade:

A = 2 + B

Substituindo na primeira igualdade:

2 + B + B = 0

2 B = - 2

B = - 1

Substituindo B = - 1 em qualquer uma das equações encontramos: A = 1

Assim, o termo (2)/(u^2 - 1) pode ser reescrito como:

(2)/(u^2 - 1) = (1)/(( u - 1 )) - (1)/(( u + 1 ))

Passo 3

Agora, ficou mais fácil para realizar a integração, vamos então reescrever:

int (2 + (2)/(u^2 - 1)) d u = int 2 d u + int ((1)/(( u - 1 )) - (1)/(( u + 1 ))) d u

= 2 u + l n |u - 1| - ln |u + 1 + C|

Calma, ainda não terminou. Temos que voltar para a variável x , vamos então escrever u = sqrt(1 - x) .

int (sqrt(1 - x))/(x) d x = 2 sqrt(1 - x) + ln |sqrt(1 - x) - 1| - ln |sqrt(1 - x) + 1| + C

Resposta

int (sqrt(1 - x))/(x) d x = 2 sqrt(1 - x) + ln |sqrt(1 - x) - 1| - ln |sqrt(1 - x) + 1| + C

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