Nos Exercícios 45 e 46, use um teorema de Pappus para determinar o centroide do triângulo dado. Use o fato de que o volume de um cone de raio r e altura h é V = (1 / 3) * pi * r^3 * h .

Passo 1

Pelo eixo das ordenadas, teremos:

r = a   ,   h = b   e   A = a ⋅ b 2

Assim:

Dado o volume: 1 3 π a 2 b

Utlizando o teorema de Pappus teremos:

V = 2 π ρ A

1 3 π a 2 b = 2 π x - a b 2  

Assim:

a b π x - = 1 3 π a 2 b

x - = 1 3 π a 2 b a b π = 1 3 a = a 3

Agora pelo eixo x:

r = b ,   h = a   e   A = b a 2

1 3 π b 2 a = 2 π y - a b 2  

Assim:

b a π y - = 1 3 π b 2 a

y - = 1 3 π b 2 a a b π = 1 3 b = b 3

Resposta

O   c e n t r o   d a   m a s s a   e s t á   l o c a l i z a d a   e m : a 3 , b 3

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