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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 46

Calcule a integral indefinida.

∫ x 2 2 + x   d x

Passo 1

Faaaaala, galera!

Nessa questão, precisamos calcular a integral indefinida

∫ x 2 2 + x   d x .

Em um primeiro momento, ela não se parece com nenhuma das presentes na Tabela de Integrais Indefinidas, para as quais conhecemos uma fórmula para o seu cálculo.

🤔 Então como resolvemos essa questão?

Utilizando a Regra da Substituição para transformar essa integral em uma que sabemos calcular. Vamos relembrar rapidamente o que essa regra diz, beleza?

Regra da Substituição:

Se definirmos a função derivável g x como uma variável u , ou seja, u = g ( x ) , e se a função f for contínua em seu domínio I , então vale que

∫ f g x g ' x   d t =   ∫ f u   d u ,  

desde que a imagem de g ( x ) esteja contida no domínio I de f .

🤔 Mas como usamos essa Regra nessa questão?

No próximo Passo, vamos escolher as funções f e u = g ( x ) de maneira conveniente, que nos possibilite usar uma das integrais da Tabela.

💡 Pra facilitar o nosso trabalho, vamos relembrar de umas propriedades das integrais indefinidas que vão nos ajudar a resolver essa questão.

  • A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.

∫ c f x d x = c   ∫ f x d x .

  • Regra da Potência: para qualquer n ≠ 1 ,   a integral indefinida da função x n é a função

∫ u n d t = u n + 1 n + 1 + C ,

onde C é uma constante qualquer.

Já temos tudo o que precisamos pra resolver esse exercício. Bora lá 😉!

Passo 2

Analisando com calma o integrando da integral

∫ x 2 2 + x   d x ,

podemos ver que, se fizermos

u = g x =   2 + x

e

f x = x - 2 2 x 1 2 ,

então

f g x = x 2 2 + x  

e, além disso, derivando u em relação à variável x , temos que

d u d x = g ' x = 1 ,

ou seja,

d u = 1   d x .

Logo, substituindo os respectivos valores, vale que

∫ f g x g ' x   d x =   ∫ x 2 2 + x ⋅ 1   d x .

Sendo assim, pela Regra da Substituição temos que a integral do enunciado pode ser reescrita como

∫ x 2 2 + x   d x = ∫ f u   d u ,

onde

∫ f u   d u = ∫ u - 2 2 u 1 2   d u .

Mas observe que essa integral da direita, em função da variável u , nós sabemos calcular né?

Primeiro vamos expandir o quadrado

u - 2 2 u 1 2 = u 2 - 4 u + 4 u 1 2 .

Reescrevendo a expressão a direita, ficamos com

∫ f ( u ) d u =   ∫ u 5 2 - 4 u 3 2 + 4 u 1 2   d u .

Usando a Regra da Potência em cada um dos termos, temos que

∫ u 5 2 - 4 u 3 2 + 4 u 1 2   d u = u 5 2 + 1 5 2 + 1 - 4 u 3 2 + 1 3 2 + 1 + 4 u 1 2 + 1 1 2 + 1 + C ,

ou seja,

∫ u 5 2 - 4 u 3 2 + 4 u 1 2 d u = 2 u 7 2 7 - 8 u 5 2 5 + 8 u 3 2 3 + C ,

onde C é uma constante qualquer.

Logo, como

∫ x 2 2 + x   d x = ∫ u 5 2 - 4 u 3 2 + 4 u 1 2 d u

então

∫ x 2 2 + x   d x = 2 u 7 2 7 - 8 u 5 2 5 + 8 u 3 2 3 + C ,    

ou seja, temos que

∫ x 2 2 + x   d x = 2 u 7 2 7 - 8 u 5 2 5 + 8 u 3 2 3 + C .

Passo 3

⚠️ Cuidado que ainda não terminamos! A igualdade

∫ x 2 2 + x   d x = 2 u 7 2 7 - 8 u 5 2 5 + 8 u 3 2 3 + C

não é a resposta final, né? Pois precisamos reverter a mudança de variável que fizemos ao assumir u = g x = 2 + x .

Fazendo isso, vamos ter que

∫ x 2 2 + x   d x = 2 2 + x 7 2 7 - 8 2 + x 5 2 5 + 8 2 + x 3 2 3 + C .

Resposta

A integral é dada por:

∫ x 2 2 + x   d x = 2 2 + x 7 2 7 - 8 2 + x 5 2 5 + 8 2 + x 3 2 3 + C ,

onde C é uma constante qualquer.

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