Avalie a integral definida.

∫ - π 4 π 4 x 3 + x 4 t g   x d x

Passo 1

Opa, bora calcular essa integral:

∫ - π 4 π 4 x 3 + x 4 t g   x d x

Esse é um caso especial. Vamos aplicar o método da substituição para Integrais Definidas para simplificar o cálculo de integrais de funções que possuam propriedades de simetria.

O motivo da gente fazer isso é que os limites de integração são iguais em módulo com sinais diferentes.

Passo 2

Uma função ser par significa que ela possui a mesma forma ao ser refletida em torno do eixo y , o que significa f x = f ( - x ) .

Uma função ser ímpar significa que ela possui forma oposta ao ser refletida em torno do eixo y , o que significa f - x = - f ( x ) .

Verificamos se a função é ímpar ou par, fazendo:

f x = x 3 + x 4 t g   x

f - x = ( - x ) 3 + - x 4 ( - t g   x )

Resolvendo o   f - x , temos:

f - x = - x 3 - x 4 t g   x

f - x = - ( x 3 + x 4 t g   x )

Temos então que:

f - x = - f ( x )

Isso significa que a nossa função é ímpar! Pra a gente entender melhor, vamos olhar o gráfico:

E lembram que a integral de uma função é a área embaixo da curva? E que nas áreas embaixo

do eixo x, a integral é negativa?

Repara que a área sob a curva do eixo positivo é do mesmo tamanho que a do negativo!

Ou seja, uma área “cancela” a outra

Portanto:

∫ - π 4 π 4 x 3 + x 4 t g   x d x = 0

Prontinho!

Resposta

∫ - π 4 π 4 x 3 + x 4 t g   x d x = 0

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