Calcule a integral

∫ x 5 + x - 1 x 3 + 1 d x

Passo 1

Nossa integral é a seguinte: I = ∫ x 5 + x - 1 x 3 + 1 d x

Dividindo os polinômios, temos:

Isto é,

x 5 + x - 1 = x 3 + 1 x 2 + - x 2 + x - 1

Passo 2

Então nossa integral fica o seguinte:

I = ∫ x 3 + 1 x 2 + - x 2 + x - 1 x 3 + 1 d x

Assim,

I = ∫ x 2 - x 2 - x + 1 x 3 + 1 d x

Separando em dois termos:

I = ∫ x 2 d x - ∫ x 2 - x + 1 x 3 + 1 d x

Vou te lembrar uma fatoração que vai salvar nossa vida:

x 3 + 1 = x + 1 x 2 - x + 1

Jogando isso na nossa integral:

I = ∫ x 2 d x - ∫ x 2 - x + 1 x + 1 x 2 - x + 1 d x

Simplificando, temos:

I = ∫ x 2 d x - ∫ 1 x + 1 d x

Passo 3

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Agora vamos integrar!

I = ∫ x 2 d x - ∫ 1 x + 1 d x

Logo,

I = x 2 + 1 ( 2 + 1 ) - ln ⁡ x + 1 + C

Portanto,

I = x 3 3 - ln ⁡ x + 1 + C

Resposta

I = x 3 3 - ln ⁡ x + 1 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados