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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 41

(d x)/(d t) = k (5 - x) (4 - x)

int (d x)/((5 - x) (4 - x)) = int k d t

Passo 1

Temos as seguintes informações, quando t=0, temos que x=0, e quando t=min5, x=1g.

int (d x)/((5 - x) (4 - x)) = int k d t

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(1)/((5 - x) (4 - x)) = (A)/((5 - x)) + (B)/((4 - x))

Isolando 1 , vamos achar

1 = A (4 - x) + B (5 - x)

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 1 ; B = - 1 ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

(1)/((5 - x) (4 - x)) = (1)/((5 - x)) + (- 1)/((4 - x))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (1)/((5 - x) (4 - x)) d x = int (1)/((5 - x)) d x + int (- 1)/((4 - x)) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

int (1)/((5 - x)) d x + int (- 1)/((4 - x)) d x = int k d t

Logo:

ln |x - 5| - ln |x - 4| + ln |c| = k t

Simplificando:

ln |((x - 5) C)/(x - 4)| = k t

k t = ((x - 5) C)/(x - 4)

Quando x=0, C=4/5.

Para t=5 e x=1:

e^(10 k) = (16^2)/(15^2)

Resposta

Pronto, tendo o valor de k e C, para t=10, temos:

x = 1,63 g

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