dx/dt = k (5 - x)(4 - x)

∫ d x 5 - x 4 - x = ∫ k d t

Passo 1

Temos as seguintes informações, quando t=0, temos que x=0, e quando t=min5, x=1g.

∫ d x 5 - x 4 - x = ∫ k d t

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

1 5 - x 4 - x = A 5 - x + B 4 - x

Isolando   1 , vamos achar

1 = A 4 - x + B 5 - x

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 1 ;                     B = - 1 ;

Agora substituindo os valores de A e B temos:

1 5 - x 4 - x = 1 5 - x + - 1 4 - x

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ 1 5 - x 4 - x d x = ∫ 1 5 - x d x + ∫ - 1 4 - x d x    

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

∫ 1 5 - x d x + ∫ - 1 4 - x d x = ∫ k d t

Logo:

ln ⁡ x - 5 - ln ⁡ x - 4 + ln ⁡ c = k t

Simplificando:

ln ⁡ x - 5 C x - 4 = k t

k t = x - 5 C x - 4

Quando x=0, C=4/5.

Para t=5 e x=1:

e 10 k = 16 2 15 2

Resposta

Pronto, tendo o valor de k e C, para t=10, temos:

x = 1,63 g

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