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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 51

51. Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.

∫ 1 1 + e x d x

Passo 1

Como queremos expressar como uma função racional, vamos a seguinte substituição:

u = 1 + e x

Derivando,

d u = e x   d x

Isolando d x , temos:

d x = 1 e x d u

Como u = 1 + e x :

d x = 1 u - 1 d u

Passo 2

Nossa integral era:

I = ∫ 1 1 + e x d x

E vai ficar assim:

I = ∫ 1 u ⋅ 1 u - 1 d u

Logo,

I = ∫ 1 u ( u - 1 ) d u

Opa, agora temos que separar em frações parciais. Vem comigo!

1 u u - 1 = A u + B u - 1

Deixando tudo no mesmo denominador:

1 u u - 1 = A u ⋅ u - 1 u - 1 + B u - 1 ⋅ u u

Logo,

1 u ( u - 1 ) = A u - 1 + B u u ( u - 1 )

Assim,

1 u ( u - 1 ) = u A + B - A u ( u - 1 )

Comparando os coeficientes:

A + B = 0 - A = 1

Então,

A = - 1 e B = 1

Passo 3

Nossa expressão era assim:

A u + B u - 1

Vai ficar assim:

- 1 u + 1 u - 1

Integrando, temos:

I = ∫ - 1 u + 1 u - 1 d u

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Logo,

I = - ln ⁡ u + ln ⁡ u - 1 + C

Voltando para variável x ( u = 1 + e x ) :

I = - ln ⁡ 1 + e x + ln ⁡ e x + C

Portanto,

I = - ln ⁡ 1 + e x + x + C

Resposta

I = - ln ⁡ 1 + e x + x + C

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