32. Encontre f

f'(x) = 5*x^4 - 3*x^2 + 4, f(-1) = 2

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

f ' x = 5 x 4 - 3 x 2 + 4

E nosso objetivo é calcular f sabendo que f - 1 = 2 .

Parece complicado?

Se temos a derivada de uma função e queremos encontrar a função, temos que fazer o caminho inverso da derivada, correto?

Esse processo é o que chamamos de antiderivada!

Se aplicarmos a antiderivação (ou primitiva) em f ' , obtemos f e a partir de f - 1 podemos determinar também a constante que surge quando aplicamos esse método.

Assim como nas derivadas, temos algumas regrinhas que podemos seguir... nesse caso, como f ' é uma função polinomial, vamos usar a seguinte:

a x n → a x n + 1 n + 1 ,     p a r a   n ≠ - 1

Lembrando que em todo cálculo de antiderivadas temos que acrescentar uma constante C à função.

Bora lá!

Passo 2

Então vamos achar a primitiva de f ' ( x ) , isto é, f ( x ) :

f ' x = 5 x 4 - 3 x 2 + 4        

Usando a relação do Passo 1:

f x = 5 ⋅ x 4 + 1 4 + 1 - 3 ⋅ x 2 + 1 2 + 1 + 4 ⋅ x 0 + 1 0 + 1 + C

Organizando o resultado...

f x = x 5 - x 3 + 4 x + C

Show?

Passo 3

Mas ele nos deu a seguinte condição: f - 1 = 2

Substituindo esse ponto no resultado do passo 2, temos:

f x = x 5 - x 3 + 4 x + C

f - 1 = - 1 - - 1 + 4 ⋅ - 1 + C

f - 1 = C - 4

Então,

C - 4 = 2

C = 6

Agora é só reescrever f x

f x = x 5 - x 3 + 4 x + 6

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

f x = x 5 - x 3 + 4 x + 6

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