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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.1 - Ex. 9

Calcule a integral.

int ln root(3)(x) d x

Passo 1

Opa! Nesse exercício iremos resolver a seguinte integral:

int ln root(3)(x) d x

Não é uma integral tão banal de resolver, então vamos precisar usar um método de integração! Pra a gente usar substituição simples teríamos que ter selecionar um u e a derivada do u , d u também deve ser encontrada na expressão!

Isso não acontece aqui, então vamos seguir com integração por partes!

Dica: Sempre tente resolver a integral pelo método mais simples!

Para integrar por partes temos:

int u d v = (u v) - int v d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Na nossa integral a gente tem uma parte algébrica e uma logarítmica. Pela ordem de prioridade teremos:

u = ln root(3)(x)

d v = d x

Passo 2

Agora calculamos d u utilizando a regra da cadeia, onde:

z = root(3)(x) = x^(1 // 3)

(d u)/(d x) = (d (ln root(3)(x)))/(d x) = (d (x^(1 // 3)))/(d x) xx (ln z)/(d z)

(d u)/(d x) = (1)/(3) x^((1)/(3) - 1) xx (1)/(z)

(d u)/(d x) = (1)/(3) x^((1)/(3) - 1) xx (1)/(x^(1 // 3))

(d u)/(d x) = (1)/(3) x^(- (2)/(3)) xx (1)/(x^(1 // 3)) = (x^(- (2)/(3)) (x^(- (1)/(3))))/(3) = (x^(- 1))/(3) = (1)/(3 x)

Agora v :

int d v = int d x

v = x

Passo 3

Montamos a integral por partes:

int ln root(3)(x) d x = (ln root(3)(x)) x - int x ((1)/(3 x)) d x

int ln root(3)(x) d x = (ln root(3)(x)) x - int (1)/(3) d x

Agora a gente calcula:

int (1)/(3) d x = (1)/(3) x

Juntando tudo temos:

int ln root(3)(x) d x = (ln root(3)(x)) x - (1)/(x) + C

Prontinho!

Resposta

int ln root(3)(x) d x = (ln root(3)(x)) x - (1)/(x) + C

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