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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.5 - Ex. 6

Encontre o valor médio da função no intervalo dado.

f θ = sec 2 ⁡ θ 2 ,     0 , π 2

Passo 1

Por definição o valor médio de uma função f em um certo intervalo [ a , b ] é dado por:

f m e d = 1 b - a ∫ a b f x d x

Assim, podemos escrever que o valor médio para nossa função f θ é dado por:

f θ m e d = 1 π 2 - 0 ∫ 0 π 2 sec 2 ⁡ θ 2   d θ

Passo 2

Resolvendo a equação montada no passo anterior, temos que:

f θ m e d = 1 π 2 ∫ 0 π 2 sec 2 ⁡ θ 2   d θ = 1 π 2 t g θ 2 × 2 π 2 0 = 4 π t g π 4 - t g 0 = 4 π 1 - 0 = 4 π  

Para essa integral vale pensar qual função trigonométrica eu derivo para encontrar sec 2 ⁡ ( x )   , que neste caso é t g ( x ) .Como o argumento da função é θ 2 quando derivamos ele obedecendo a regra da cadeia obtemos 1 2 , então pensamos o que multiplicamos para simplificar esse termo, ou seja, devemos multiplicar por 2   . Assim : t g ' θ 2 = sec 2 ⁡ θ 2 × 1 2 ⇒ 2 t g ' θ 2 = sec 2 ⁡ θ 2 . Então chegamos no resultado desejado, logo a volta da derivada é a integral e por isso a integral de ∫ sec 2 ⁡ θ 2 d θ = 2 t g θ 2 + C .

Resposta

4 π

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