Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 19

Calcule a integral.

int e^x s e n x d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

int f (x) g (x) d x

Iremos fazer:

u = f (x) e d v = g (x) d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

int u d v = u v - int v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

int e^x s e n x d x

E supondo:

u = s e n x e d v = e^x d x

Conseguimos encontrar:

d u = cos x d x

E:

v = int e^x d x

Ou seja:

v = e^x

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

int e^x s e n x d x = (s e n x) (e^x) - int (e^x) (cos x) d x

Que pode ser reescrita como:

int e^x s e n x d x = e^x s e n x - int e^x cos x d x

Passo 4

Aplicando a integração por partes novamente, agora supondo:

u = cos x e d v = e^x d x

Tal que:

d u = - s e n x d x

E:

v = e^x

Teremos:

int e^x s e n x d x = e^x s e n x - [e^x cos x - int (e^x) (- s e n x d x)]

int e^x s e n x d x = e^x s e n x - e^x cos x - int e^x s e n x d x

Passo 5

Como há um termo semelhante nos dois lados da equação, podemos passar tudo para um lado só:

2 int e^x s e n x d x = e^x s e n x - e^x cos x + C

Logo:

int e^x s e n x d x = (e^x s e n x - e^x cos x)/(2) + C

E tirando o fator comum:

int e^x s e n x d x = (1)/(2) e^x (s e n x - cos x) + C

Resposta

int e^x s e n x d x = (1)/(2) e^x (s e n x - cos x) + C

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