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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 21

Calcule a integral.

int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x

Passo 1

Opa, a gente deve calcular a seguinte integral:

int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x

Para isso, devemos utilizar a integra��ão por partes, que é dada da seguinte forma:

int u d v = u v - int v d u

Pessoal, vamos lembrar as prioridades para a substituição de u .

Usamos seguimos a ordem do famoso principio LIATE, que quer dizer:

Neste exercício, temos uma parte exponencial e uma racional. Então, por LIATE, vamos usar a exponencial para o valor de u .

Diremos que:

u = x e^(2 x)

Assim, derivando através da regra da cadeia e a regra d produto, encontramos:

d u = e^(2 x) (2 x + 1) d x

Por outro lado, temos:

d v = (d x)/((1 + 2 x)^2)

Assim, integrando ambos os lados, temos:

v = - (1)/(2 ( 1 + 2 x ))

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Aplicando a integração por partes, obtemos:

int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x = - (1)/(2 (1 + 2 x)) x e^(2 x) - int_()^() (- (1)/(2 (1 + 2 x))) e^(2 x) (2 x + 1) d x :.

int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x = - (1)/(2 (1 + 2 x)) x e^(2 x) + (1)/(2) int_()^() e^(2 x) d x

Passo 3

Aplicamos agora a integração por substituição na integral com a exponencial, obtemos:

u = 2 x => d u = 2 d x => (d u)/(2) = d x

Portanto:

int_()^() e^(2 x) d x = int_()^() (1)/(2) e^u d u :.

int_()^() e^(2 x) d x = (1)/(2) int_()^() e^u d u :.

int_()^() e^(2 x) d x = (1)/(2) e^u + C :.

int_()^() e^(2 x) d x = (1)/(2) e^(2 x) + C

Passo 4

Retomando a integral inicial e aplicando os resultados encontrados, temos:

int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x = - (1)/(2 (1 + 2 x)) x e^(2 x) + (1)/(2) int_()^() e^(2 x) d x :.

int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x = - (1)/(2 (1 + 2 x)) x e^(2 x) + (1)/(2) * (1)/(2) e^(2 x) + C :.

int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x = - (1)/(2 (1 + 2 x)) x e^(2 x) + (1)/(4) e^(2 x) + C :.

Juntando as duas frações, obtemos que:

int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x = (2 e^(2 x) (1 + 2 x) - 4 x e^(2 x))/(2 (1 + 2 x) * 4) + C :.

int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x = (2 e^(2 x) + 4 x e^(2 x) - 4 x e^(2 x))/(2 (1 + 2 x) * 4) + C :.

int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x = (e^(2 x))/(4 (1 + 2 x)) + C

Prontinho!

Resposta

int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x = (e^(2 x))/(4 (1 + 2 x)) + C

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