Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x

int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x = (e^(2 x))/(4 (1 + 2 x)) + C

Enunciado

Opa, a gente deve calcular a seguinte integral:

Para isso, devemos utilizar a integra��ão por partes, que é dada da seguinte forma:

Pessoal, vamos lembrar as prioridades para a substituição de .

Usamos seguimos a ordem do famoso principio LIATE, que quer dizer:

Neste exercício, temos uma parte exponencial e uma racional. Então, por LIATE, vamos usar a exponencial para o valor de .

Diremos que:

Assim, derivando através da regra da cadeia e a regra d produto, encontramos:

Por outro lado, temos:

Assim, integrando ambos os lados, temos:

Agora vamos aplicar!! 😉

Aplicando a integração por partes, obtemos:

Aplicamos agora a integração por substituição na integral com a exponencial, obtemos:

Portanto:

Retomando a integral inicial e aplicando os resultados encontrados, temos:

Juntando as duas frações, obtemos que:

Prontinho!