Calcule a integral.

∫     x e 2 x 1 + 2 x 2   d x

Passo 1

Opa, a gente deve calcular a seguinte integral:

∫     x e 2 x 1 + 2 x 2   d x

Para isso, devemos utilizar a integra��ão por partes, que é dada da seguinte forma:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Pessoal, vamos lembrar as prioridades para a substituição de u .

Usamos seguimos a ordem do famoso principio LIATE, que quer dizer:

Neste exercício, temos uma parte exponencial e uma racional. Então, por LIATE, vamos usar a exponencial para o valor de u .

Diremos que:

u = x e 2 x

Assim, derivando através da regra da cadeia e a regra d produto, encontramos:

d u = e 2 x 2 x + 1   d x

Por outro lado, temos:

d v = d x 1 + 2 x 2

Assim, integrando ambos os lados, temos:

  v = - 1 2 ( 1 + 2 x )

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Aplicando a integração por partes, obtemos:

∫     x e 2 x 1 + 2 x 2 d x =   - 1 2 1 + 2 x x e 2 x - ∫     - 1 2 1 + 2 x e 2 x 2 x + 1 d x ∴

∫     x e 2 x 1 + 2 x 2 d x = - 1 2 1 + 2 x x e 2 x + 1 2 ∫     e 2 x   d x

Passo 3

Aplicamos agora a integração por substituição na integral com a exponencial, obtemos:

u = 2 x ⇒ d u = 2   d x   ⇒   d u 2 = d x

Portanto:

∫     e 2 x   d x = ∫     1 2 e u d u ∴

∫     e 2 x   d x = 1 2 ∫     e u d u ∴

∫     e 2 x   d x = 1 2 e u + C ∴

∫     e 2 x   d x = 1 2 e 2 x + C

Passo 4

Retomando a integral inicial e aplicando os resultados encontrados, temos:

∫     x e 2 x 1 + 2 x 2 d x =   - 1 2 1 + 2 x x e 2 x + 1 2 ∫     e 2 x   d x ∴

∫     x e 2 x 1 + 2 x 2 d x = - 1 2 1 + 2 x x e 2 x + 1 2 * 1 2 e 2 x + C ∴

∫     x e 2 x 1 + 2 x 2 d x =   - 1 2 1 + 2 x x e 2 x + 1 4 e 2 x + C ∴

Juntando as duas frações, obtemos que:

∫     x e 2 x 1 + 2 x 2 d x =   2 e 2 x 1 + 2 x - 4 x e 2 x 2 1 + 2 x ⋅ 4 + C ∴

∫     x e 2 x 1 + 2 x 2 d x =   2 e 2 x + 4 x e 2 x - 4 x e 2 x 2 1 + 2 x ⋅ 4 + C ∴

∫     x e 2 x 1 + 2 x 2 d x =   e 2 x 4 1 + 2 x + C

Prontinho!

Resposta

∫     x e 2 x 1 + 2 x 2 d x =   e 2 x 4 1 + 2 x + C

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