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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 22

Calcule a integral.

int_()^() (a r c s e n ( x ))^2 d x

Passo 1

Para este caso vamos aplicar a técnica de integração por partes. Para isso precisamos dividir o argumento da integral em duas funções f ( x ) e g ( x ) respectivamente. Feito isso, aplicamos a fórmula para a integração por partes que é dada por :

int_()^() u d v = u v - int_()^() v d u

Ou de forma mais visível, fazemos:

int_()^() f (x) g ' (x) = f (x) g (x) - int_()^() f^' (x) g ( x )

Primeiro então, devemos definir quem vão ser nossas funções. É aconselhável escolher a função mais fácil de derivar para ser f ( x ) . Assim:

f (x) = (a r c s e n (x))^2 e g^' (x) = 1 d x

Derivando f e integrando g ' , temos:

f (x) = (a r c s e n (x))^2 => f^' (x) = 2 (a r c s e n (x)) (1)/(sqrt(1 - x^2))

g^' (x) = 1 d x => g (x) = int_()^() d x = x

Passo 2

Aplicando os resultados obtidos na fórmula citada no passo anterior, temos:

int_()^() (a r c s e n (x))^2 d x = x a r c s e n^2 (x) - int_()^() (2 x (a r c s e n (x)))/(sqrt(1 - x^2)) d x =

= x a r c s e n^2 (x) - 2 int_()^() (x a r c s e n ( x ))/(sqrt(1 - x^2)) d x

Passo 3

Observe que teremos que aplicar a integração por partes novamente. Assim:

f_1 (x) = a r c s e n (x) e g_1^' ( x ) = (1)/(sqrt(1 - x^2)) x

Derivando f e integrando g ' , temos:

f_1 (x) = a r c s e n ( x ) => f_1^' (x) = (1)/(sqrt(1 - x^2))

g_1^' (x) = (x)/(sqrt(1 - x^2)) => g_1 (x) = int_()^() (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x

Para resolver g_1 (x) devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f ( x ) por uma variável simples ( u ) e que resulte em um d u = f ’ ( x ) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.Logo:

u = 1 - x^2 => d u = - 2 x d x => - (d u)/(2) = x d x

=> g_1 => int_()^() (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x = int_()^() - (1)/(2) (1)/(sqrt(u)) d u = - (1)/(2) int_()^() u^(- (1)/(2)) d u = - (1)/(2) u^((1)/(2)) xx 2 = - sqrt(u) = - sqrt(1 - x^2)

Lembre-se que a integração polinomial é dada por:

int_()^() x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Então, podemos escrever que:

int_()^() (x a r c s e n ( x ))/(sqrt(1 - x^2)) d x = - a r c s e n (x) sqrt(1 - x^2) - int_()^() (1)/(sqrt(1 - x^2)) (- sqrt(1 - x^2)) d x =

= - a r c s e n (x) sqrt(1 - x^2) + int_()^() d x = - a r c s e n (x) sqrt(1 - x^2) + x + C

Passo 4

Retomando a integral inicial e aplicando os resultados encontrados, temos:

int_()^() (a r c s e n (x))^2 d x = x a r c s e n^2 (x) - 2 int_()^() (x (a r c s e n (x)))/(sqrt(1 - x^2)) d x =

= x a r c s e n^2 (x) - 2 [- a r c s e n (x) sqrt(1 - x^2) + x + C] =

= x a r c s e n^2 (x) + 2 a r c s e n (x) sqrt(1 - x^2) - 2 x + C

Resposta

x a r c s e n^2 (x) + 2 a r c s e n (x) sqrt(1 - x^2) - 2 x + C

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