Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 21

Calcule a integral.

int s e n ( ln x ) d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

int f (x) g (x) d x

Iremos fazer:

u = f (x) e d v = g (x) d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

int u d v = u v - int v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

int s e n ( ln x ) d x

E supondo:

u = s e n (ln x) e d v = d x

Conseguimos encontrar:

d u = (1)/(x) cos (ln x) d x

E:

v = int d x

Ou seja:

v = x

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

int s e n ( ln x ) d x = (s e n (ln x)) (x) - int (x) ((1)/(x) cos (ln x) d x)

Que pode ser reescrita como:

int s e n ( ln x ) d x = x s e n (ln x) - int cos (ln x) d x

Passo 4

Aplicando a integração por partes novamente, agora supondo:

u = cos (ln x) e d v = d x

Conseguimos encontrar:

d u = - (1)/(x) s e n (ln x) d x

E:

v = x

Teremos:

int s e n ( ln x ) d x = x s e n (ln x) - [(cos (ln x)) (x) - int (x) (- (1)/(x) s e n (ln x) d x)]

Ou seja:

int s e n ( ln x ) d x = x s e n (ln x) - x cos (ln x) - int s e n ( ln x ) d x

Passo 5

Como há um termo semelhante nos dois lados da equação, podemos passar tudo para um lado só:

2 int s e n ( ln x ) d x = x s e n (ln x) - x cos (ln x) + C

Logo:

int s e n ( ln x ) d x = (1)/(2) [x s e n (ln x) - x cos (ln x)] + C

E tirando o fator comum:

int s e n ( ln x ) d x = (1)/(2) x [s e n (ln x) - cos (ln x)] + C

Resposta

int s e n ( ln x ) d x = (1)/(2) x [s e n (ln x) - cos (ln x)] + C

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