Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 23

Calcule a integral.

int x sec^2 x d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

int f (x) g (x) d x

Iremos fazer:

u = f (x) e d v = g (x) d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

int u d v = u v - int v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

int x sec^2 x d x

E supondo:

u = x e d v = sec^2 x d x

Conseguimos encontrar:

d u = d x

E:

v = int sec^2 x d x

Ou seja:

v = t g x

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

int x sec^2 x d x = (x) (t g x) - int (t g x) (d x)

Que pode ser reescrita como:

int x sec^2 x d x = x t g x - int t g x d x

Passo 4

Resolvendo a última integral restante, conseguiremos encontrar:

int x sec^2 x d x = x t g x - ln |sec x| + C

Logo:

int x sec^2 x d x = x t g x - ln |(1)/(cos x)| + C

Ou ainda:

int x sec^2 x d x = x t g x - ln |(cos x)^(- 1)| + C

Assim, pela propriedade de logaritmo, esse resultado pode ser reescrito como:

int x sec^2 x d x = x t g x - (- 1) ln |(cos x)| + C

Portanto:

int x sec^2 x d x = x t g x + ln |cos x| + C

Resposta

int x sec^2 x d x = x t g x + ln |cos x| + C

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