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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.4 - Ex. 39

Calcule a integral.

∫ 1 64 1 + x 3 x   d x

Passo 1

E aí, bora calcular essa integral 😎?

Precisamos descobrir quanto vale a integral indefinida

∫ 1 64 1 + x 3 x   d x .

✏️ Anota aí: O intervalo de integração [ a ,   b ] é igual a [ 1 ,   64 ] e o integrando é a função

f x =   1 + x 3 x = 1 + x 1 3 x - 1 2 ,

ou seja,

f x = x - 1 2 + x - 1 6 .

Reescrever o integrando dessa forma vai facilitar o nosso trabalho, beleza 😉?

🛠️ Sabendo disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

  • Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo: se a função f é contínua no intervalo [ a ,   b ] então

    • ∫ a b f x d x = ∫ f x d x a b

    onde ∫ f x d x é a primitiva da função f , ou seja,

    d d x ∫ f ( x ) d x   = f x .

  • A integral indefinida de uma soma de funções é a soma das integrais indefinidas de cada uma das funções.

∫ f x + g x d x =   ∫ f x d x +   ∫ g ( x ) d x .

  • Regra da Potência: para qualquer n ≠ 1 ,   a integral indefinida da função x n é a função

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + B ,

onde B é uma constante qualquer.

Bem, isso é tudo o que precisamos para resolver a questão!

👀 Nos próximos passos, vamos encontrar a integral indefinida da função f e obter o seu valor nos extremos do intervalo [ 1 ,   64 ] .

Bora lá!

Passo 2

Começamos encontrando a integral indefinida

∫ x - 1 2 + x - 1 6   d x .

Para isso, usamos as propriedades da integral indefinidas dadas no Passo 1 . Logo,

∫ x - 1 2 + x - 1 6   d x =   ∫ x - 1 2 d x + ∫ x - 1 6 d x .

Usando a Regra da Potência em cada um dos termos temos que

∫ x - 1 2 + x - 1 6   d x = 2 x 1 2 + 6 5 x 5 6 + C .

Observe que derivando a expressão que encontramos, temos que:

d d x 2 x 1 2 + 6 5 x 5 6 + C = x - 1 2 + x - 1 6 = f ( x ) ,

então encontramos a integral indefinida geral (primitiva) de f certinha 🎉!

Passo 3

Agora, só precisamos usar a Parte 2 do Teorema Fundamental. Lembrando que o nosso intervalo de integração é [ 1 ,   64 ] , temos:

∫ 1 64 1 + x 3 x   d x =   ∫ x - 1 2 + x - 1 6   d x 1 64 .

Como no passo anterior encontramos que

∫ x - 1 2 + x - 1 6   d x = 2 x 1 2 + 6 5 x 5 6 + C ,

calculando o valor da integral indefinida nos pontos extremos do intervalo de integração temos que:

Em x =   64

∫ x - 1 2 + x - 1 6   d x ​ x = 64 = 2 ( 64 ) 1 2 + 6 5 ( 64 ) 5 6 + C ,

ou seja,

∫ x - 1 2 + x - 1 6   d x ​ x = 64 = 2 ⋅ 8 + 6 5 ⋅ 32 + C .

Logo,

∫ x - 1 2 + x - 1 6   d x ​ x = 64 = 16 + 192 5 + C .

Em x = 1

∫ x - 1 2 + x - 1 6   d x ​ x = 1 = 2 ( 1 ) 1 2 + 6 5 ( 1 ) 5 6 + C ,

ou seja,

∫ x - 1 2 + x - 1 6   d x ​ x = 1 = 16 5 + C .

Substituindo na igualdade do Teorema e fazendo as contas, temos que:

∫ 1 64 1 + x 3 x   d x = 16 + 192 5 + C - 16 5 + C .  

Dessa forma, a integral procurada vale

∫ 1 64 1 + x 3 x   d x = 256 5 .

Resposta

A integral vale:

∫ 1 64 1 + x 3 x   d x = 256 5 .

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