Enunciado

Determinar as seguintes derivadas.

(d)/(d y) int_3^y (2 x)/(x^2 + 9) d x

Passo 1

A gente pode derivar isso integrando primeiro e depois derivando, ou... usando o maravilhoso Teorema Fundamental do Cálculo que diz que:

Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a,b]. Então a função G : [a , b] -> I R , definida por:

G (x) = int_a^x f (t) d t

Tem derivada em todos os pontos x in [a , b] , q u e é d a d a p o r :

(d)/(d x) int_a^x f (t) d t = f ( x ) "

Ou seja, a gente não precisa nem integrar, é só jogar o x ali dentro da integral.

Passo 2

No nosso caso agora é y , mas é a mesma coisa. A derivada vai ser:

(d)/(d y) int_3^y (2 x)/(x^2 + 9) d x

= (2 y)/(y^2 + 9)

E pronto! É só isso😉

Resposta

(2 y)/(y^2 + 9)

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