Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.3 - Ex. 3

Seja onde é a função cujo gráfico é mostrado.

(a) Calcule , , , e

(b) Em que intervalos está crescendo?

(c) Onde tem um valor máximo?

(d) Faça um esboço do gráfico de .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá o seguinte gráfico de :

Ele também nos diz que

Queremos calcular para .

Para isso, devemos substituir na função dada e analisar o gráfico para podermos encontrar os valores dentro de cada intervalo.

Assim, lembre-se que a integral pode ser interpretada como a área sob a curva, e é isso que vamos usar aqui para o item A.

Para o B iremos ver quais a função cresce, ou seja, para quais intervalos nosso gráfico aponta para cima.

O valor máximo será o onde a função é mais alta

Com isso, poderemos analisar onde está crescendo e o seu valor de máximo.

E para esboço, vamos analisar as informações que respondemos nos itens anteriores, ok?

Um bocadinho de coisa, né?? Mas vamos devagarinho que vai dar certo!! 😉

Passo 2

Item a:

e essa integral é a área do gráfico, então:

Para , temos:

Observe no gráfico como não temos área, essa região é apenas uma linha:

Para , temos a área de dois quadrados de lado , logo:

Agora sim temos uma área no gráfico, observe como há quadradinhos de área no intervalo

Para :

Já sabemos área no intervalo de , vamos observar a área dos intervalos de, nossa área total quando x=2, é a soma das áreas laranja e vermelha, desse jeito:

Para a integral de intervalo , perceba no gráfico que se trata da área de dois quadrados de lado e um triângulo de base e altura , portanto, vamos somar essa área com a que já temos:

Para , temos:

Perceba que já sabemos do resultado da integral de .

Por outro lado, para a integral de intervalo , perceba no gráfico que se trata da área de um triângulo de base e altura , aqui será a nossa área em azul, portanto:

Para , temos:

Perceba que já sabemos do resultado da integral de . Então precisamos somar com a área verde que vai de a .

Para a integral de intervalo , perceba no gráfico que se trata da área de um trapézio (do lado negativo) de base maior , base menor e altura , e note que agora vamos subtrair essa área, pois está abaixo do :

Passo 3

Item b:

Como estamos ampliando a área positiva até , então a função está crescendo até , pois que é a derivada de tem valores positivos!

Passo 4

Item c:

Até nosso gráfico estava acima do , após ele ficou abaixo. Isso quer dizer que até as derivadas de eram positivas, e após elas ficaram negativas, indicando aqui um ponto de mudança de sentido da função, se você pensou em uma curva, acertou! E mais um detalhe, lembre-se que no ponto máximo ou mínimo que é exatamente o que temos!